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【题目描述】
小明是一位科学家，他需要参加一场重要的国际科学大会，以展示自己的最新研究成果。
小明的起点是第一个车站，终点是最后一个车站。然而，途中的各个车站之间的道路状况、交通拥堵程度以及可能的自然因素（如天气变化）等不同，这些因素都会影响每条路径的通行时间。
小明希望能选择一条花费时间最少的路线，以确保他能够尽快到达目的地。
【输入描述】
第一行包含两个正整数，第一个正整数 N 表示一共有 N 个公共汽车站，第二个正整数 M 表示有 M 条公路。
接下来为 M 行，每行包括三个整数，S、E 和 V，代表了从 S 车站可以单向直达 E 车站，并且需要花费 V 单位的时间。
【输出描述】
输出一个整数，代表小明从起点到终点所花费的最小时间。
输入示例
7 9
1 2 1
1 3 4
2 3 2
2 4 5
3 4 2
4 5 3
2 6 4
5 7 4
6 7 9
输出示例：12
【提示信息】
能够到达的情况：
如下图所示，起始车站为 1 号车站，终点车站为 7 号车站，绿色路线为最短的路线，路线总长度为 12，则输出 12。
不能到达的情况：
如下图所示，当从起始车站不能到达终点车站时，则输出 -1。
数据范围：
1 <= N <= 500; 1 <= M <= 5000;
本篇我们来讲解 堆优化版dijkstra，看本篇之前，一定要先看 我讲解的 朴素版dijkstra，否则本篇会有部分内容看不懂。
在上一篇中，我们讲解了朴素版的dijkstra，该解法的时间复杂度为 O(n^2)，可以看出时间复杂度 只和 n （节点数量）有关系。
如果n很大的话，我们可以换一个角度来优先性能。
在 讲解 最小生成树的时候，我们 讲了两个算法，prim算法（从点的角度来求最小生成树）、Kruskal算法（从边的角度来求最小生成树）
这么在n 很大的时候，也有另一个思考维度，即：从边的数量出发。
当 n 很大，边 的数量 也很多的时候（稠密图），那么 上述解法没问题。
但 n 很大，边 的数量 很小的时候（稀疏图），是不是可以换成从边的角度来求最短路呢？
毕竟边的数量少。
有的录友可能会想，n （节点数量）很大，边不就多吗？ 怎么会边的数量少呢？
别忘了，谁也没有规定 节点之间一定要有边连接着，例如有一万个节点，只有一条边，这也是一张图。
了解背景之后，再来看 解法思路。
首先是 图的存储。
关于图的存储 主流有两种方式： 邻接矩阵和邻接表
邻接矩阵 使用 二维数组来表示图结构。 邻接矩阵是从节点的角度来表示图，有多少节点就申请多大的二维数组。
例如： grid[2][5] = 6，表示 节点 2 链接 节点5 为有向图，节点2 指向 节点5，边的权值为6 （套在题意里，可能是距离为6 或者 消耗为6 等等）
如果想表示无向图，即：grid[2][5] = 6，grid[5][2] = 6，表示节点2 与 节点5 相互连通，权值为6。
如图：
在一个 n （节点数）为8 的图中，就需要申请 8 * 8 这么大的空间，有一条双向边，即：grid[2][5] = 6，grid[5][2] = 6
这种表达方式（邻接矩阵） 在 边少，节点多的情况下，会导致申请过大的二维数组，造成空间浪费。
而且在寻找节点链接情况的时候，需要遍历整个矩阵，即 n * n 的时间复杂度，同样造成时间浪费。
邻接矩阵的优点：
- 表达方式简单，易于理解
- 检查任意两个顶点间是否存在边的操作非常快
- 适合稠密图，在边数接近顶点数平方的图中，邻接矩阵是一种空间效率较高的表示方法。
缺点：
- 遇到稀疏图，会导致申请过大的二维数组造成空间浪费 且遍历 边 的时候需要遍历整个n * n矩阵，造成时间浪费
邻接表 使用 数组 + 链表的方式来表示。 邻接表是从边的数量来表示图，有多少边 才会申请对应大小的链表。
邻接表的构造如图：
这里表达的图是：
- 节点1 指向 节点3 和 节点5
- 节点2 指向 节点4、节点3、节点5
- 节点3 指向 节点4，节点4指向节点1。
有多少边 邻接表才会申请多少个对应的链表节点。
从图中可以直观看出 使用 数组 + 链表 来表达 边的链接情况 。
邻接表的优点：
- 对于稀疏图的存储，只需要存储边，空间利用率高
- 遍历节点链接情况相对容易
缺点：
- 检查任意两个节点间是否存在边，效率相对低，需要 O(V)时间，V表示某节点链接其他节点的数量。
- 实现相对复杂，不易理解
接下来我们继续按照稀疏图的角度来分析本题。
在第一个版本的实现思路中，我们提到了三部曲：
- 第一步，选源点到哪个节点近且该节点未被访问过
- 第二步，该最近节点被标记访问过
- 第三步，更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组）
在第一个版本的代码中，这三部曲是套在一个 for 循环里，为什么？
因为我们是从节点的角度来解决问题。
三部曲中第一步（选源点到哪个节点近且该节点未被访问过），这个操作本身需要for循环遍历 minDist 来寻找最近的节点。
同时我们需要 遍历所有 未访问过的节点，所以 我们从 节点角度出发，代码会有两层for循环，代码是这样的： （注意代码中的注释，标记两层for循环的用处）
for (int i = 1; i <= n; i++) { // 遍历所有节点，第一层for循环
int minVal = INT_MAX;
int cur = 1;
// 1、选距离源点最近且未访问过的节点 ， 第二层for循环
for (int v = 1; v <= n; ++v) {
if (!visited[v] && minDist[v] < minVal) {
minVal = minDist[v];
cur = v;
}
}
visited[cur] = true; // 2、标记该节点已被访问
// 3、第三步，更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组）
for (int v = 1; v <= n; v++) {
if (!visited[v] && grid[cur][v] != INT_MAX && minDist[cur] + grid[cur][v] < minDist[v]) {
minDist[v] = minDist[cur] + grid[cur][v];
}
}
}那么当从 边 的角度出发， 在处理 三部曲里的第一步（选源点到哪个节点近且该节点未被访问过）的时候 ，我们可以不用去遍历所有节点了。
而且 直接把 边（带权值）加入到 小顶堆（利用堆来自动排序），那么每次我们从 堆顶里 取出 边 自然就是 距离源点最近的节点所在的边。
这样我们就不需要两层for循环来寻找最近的节点了。
了解了大体思路，我们再来看代码实现。
首先是 如何使用 邻接表来表述图结构，这是摆在很多录友面前的第一个难题。
邻接表用 数组+链表 来表示，代码如下：（C++中 vector 为数组，list 为链表， 定义了 n+1 这么大的数组空间）
vector<list<int>> grid(n + 1);不少录友，不知道 如何定义的数据结构，怎么表示邻接表的，我来给大家画一个图：
图中邻接表表示：
- 节点1 指向 节点3 和 节点5
- 节点2 指向 节点4、节点3、节点5
- 节点3 指向 节点4
- 节点4 指向 节点1
大家发现图中的边没有权值，而本题中 我们的边是有权值的，权值怎么表示？在哪里表示？
所以 在vector<list<int>> grid(n + 1); 中 就不能使用int了，而是需要一个键值对 来存两个数字，一个数表示节点，一个数表示 指向该节点的这条边的权值。
那么 代码可以改成这样： （pair 为键值对，可以存放两个int）
vector<list<pair<int,int>>> grid(n + 1);举例来给大家展示 该代码表达的数据 如下：
- 节点1 指向 节点3 权值为 1
- 节点1 指向 节点5 权值为 2
- 节点2 指向 节点4 权值为 7
- 节点2 指向 节点3 权值为 6
- 节点2 指向 节点5 权值为 3
- 节点3 指向 节点4 权值为 3
- 节点5 指向 节点1 权值为 10
这样 我们就把图中权值表示出来了。
但是在代码中 使用 pair<int, int> 很容易让我们搞混了，第一个int 表示什么，第二个int表示什么，导致代码可读性很差，或者说别人看你的代码看不懂。
那么 可以 定一个类 来取代 pair<int, int>
类（或者说是结构体）定义如下：
struct Edge {
int to; // 邻接顶点
int val; // 边的权重
Edge(int t, int w): to(t), val(w) {} // 构造函数
};这个类里有两个成员变量，有对应的命名，这样不容易搞混 两个int的含义。
所以 本题中邻接表的定义如下：
struct Edge {
int to; // 链接的节点
int val; // 边的权重
Edge(int t, int w): to(t), val(w) {} // 构造函数
};
vector<list<Edge>> grid(n + 1); // 邻接表
（我们在下面的讲解中会直接使用这个邻接表的代码表示方式）
其实思路依然是 dijkstra 三部曲：
- 第一步，选源点到哪个节点近且该节点未被访问过
- 第二步，该最近节点被标记访问过
- 第三步，更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组）
只不过之前是 通过遍历节点来遍历边，通过两层for循环来寻找距离源点最近节点。 这次我们直接遍历边，且通过堆来对边进行排序，达到直接选择距离源点最近节点。
先来看一下针对这三部曲，如果用 堆来优化。
那么三部曲中的第一步（选源点到哪个节点近且该节点未被访问过），我们如何选？
我们要选择距离源点近的节点（即：该边的权值最小），所以 我们需要一个 小顶堆 来帮我们对边的权值排序，每次从小顶堆堆顶 取边就是权值最小的边。
C++定义小顶堆，可以用优先级队列实现，代码如下：
// 小顶堆
class mycomparison {
public:
bool operator()(const pair<int, int>& lhs, const pair<int, int>& rhs) {
return lhs.second > rhs.second;
}
};
// 优先队列中存放 pair<节点编号，源点到该节点的权值>
priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, mycomparison> pq;（pair<int, int>中 第二个int 为什么要存 源点到该节点的权值，因为 这个小顶堆需要按照权值来排序）
有了小顶堆自动对边的权值排序，那我们只需要直接从 堆里取堆顶元素（小顶堆中，最小的权值在上面），就可以取到离源点最近的节点了 （未访问过的节点，不会加到堆里进行排序）
所以三部曲中的第一步，我们不用 for循环去遍历，直接取堆顶元素：
// pair<节点编号，源点到该节点的权值>
pair<int, int> cur = pq.top(); pq.pop();
第二步（该最近节点被标记访问过） 这个就是将 节点做访问标记，和 朴素dijkstra 一样 ，代码如下：
// 2. 第二步，该最近节点被标记访问过
visited[cur.first] = true;
（cur.first 是指取 pair<int, int> 里的第一个int，即节点编号 ）
第三步（更新非访问节点到源点的距离），这里的思路 也是 和朴素dijkstra一样的。
但很多录友对这里是最懵的，主要是因为两点：
- 没有理解透彻 dijkstra 的思路
- 没有理解 邻接表的表达方式
我们来回顾一下 朴素dijkstra 在这一步的代码和思路（如果没看过我讲解的朴素版dijkstra，这里会看不懂）
// 3、第三步，更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组）
for (int v = 1; v <= n; v++) {
if (!visited[v] && grid[cur][v] != INT_MAX && minDist[cur] + grid[cur][v] < minDist[v]) {
minDist[v] = minDist[cur] + grid[cur][v];
}
}其中 for循环是用来做什么的？ 是为了 找到 节点cur 链接指向了哪些节点，因为使用邻接矩阵的表达方式 所以把所有节点遍历一遍。
而在邻接表中，我们可以以相对高效的方式知道一个节点链接指向哪些节点。
再回顾一下邻接表的构造（数组 + 链表）：
假如 加入的cur 是节点 2， 那么 grid[2] 表示的就是图中第二行链表。 （grid数组的构造我们在 上面 「图的存储」中讲过）
所以在邻接表中，我们要获取 节点cur 链接指向哪些节点，就是遍历 grid[cur节点编号] 这个链表。
这个遍历方式，C++代码如下：
for (Edge edge : grid[cur.first]) （如果不知道 Edge 是什么，看上面「图的存储」中邻接表的讲解）
cur.first 就是cur节点编号， 参考上面pair的定义： pair<节点编号，源点到该节点的权值>
接下来就是更新 非访问节点到源点的距离，代码实现和 朴素dijkstra 是一样的，代码如下：
// 3. 第三步，更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组）
for (Edge edge : grid[cur.first]) { // 遍历 cur指向的节点，cur指向的节点为 edge
// cur指向的节点edge.to，这条边的权值为 edge.val
if (!visited[edge.to] && minDist[cur.first] + edge.val < minDist[edge.to]) { // 更新minDist
minDist[edge.to] = minDist[cur.first] + edge.val;
pq.push(pair<int, int>(edge.to, minDist[edge.to]));
}
}但为什么思路一样，有的录友能写出朴素dijkstra，但堆优化这里的逻辑就是写不出来呢？
主要就是因为对邻接表的表达方式不熟悉！
以上代码中，cur 链接指向的节点编号 为 edge.to， 这条边的权值为 edge.val ，如果对这里模糊的就再回顾一下 Edge的定义：
struct Edge {
int to; // 邻接顶点
int val; // 边的权重
Edge(int t, int w): to(t), val(w) {} // 构造函数
};确定该节点没有被访问过，!visited[edge.to] ， 目前 源点到cur.first的最短距离（minDist） + cur.first 到 edge.to 的距离 （edge.val） 是否 小于 minDist已经记录的 源点到 edge.to 的距离 （minDist[edge.to]）
如果是的话，就开始更新操作。
即：
if (!visited[edge.to] && minDist[cur.first] + edge.val < minDist[edge.to]) { // 更新minDist
minDist[edge.to] = minDist[cur.first] + edge.val;
pq.push(pair<int, int>(edge.to, minDist[edge.to])); // 由于cur节点的加入，而新链接的边，加入到优先级队里中
}
同时，由于cur节点的加入，源点又有可以新链接到的边，将这些边加入到优先级队里中。
以上代码思路 和 朴素版dijkstra 是一样一样的，主要区别是两点：
- 邻接表的表示方式不同
- 使用优先级队列（小顶堆）来对新链接的边排序
堆优化dijkstra完整代码如下：
#include <iostream>
#include <vector>
#include <list>
#include <queue>
#include <climits>
using namespace std;
// 小顶堆
class mycomparison {
public:
bool operator()(const pair<int, int>& lhs, const pair<int, int>& rhs) {
return lhs.second > rhs.second;
}
};
// 定义一个结构体来表示带权重的边
struct Edge {
int to; // 邻接顶点
int val; // 边的权重
Edge(int t, int w): to(t), val(w) {} // 构造函数
};
int main() {
int n, m, p1, p2, val;
cin >> n >> m;
vector<list<Edge>> grid(n + 1);
for(int i = 0; i < m; i++){
cin >> p1 >> p2 >> val;
// p1 指向 p2，权值为 val
grid[p1].push_back(Edge(p2, val));
}
int start = 1; // 起点
int end = n; // 终点
// 存储从源点到每个节点的最短距离
std::vector<int> minDist(n + 1, INT_MAX);
// 记录顶点是否被访问过
std::vector<bool> visited(n + 1, false);
// 优先队列中存放 pair<节点，源点到该节点的权值>
priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, mycomparison> pq;
// 初始化队列，源点到源点的距离为0，所以初始为0
pq.push(pair<int, int>(start, 0));
minDist[start] = 0; // 起始点到自身的距离为0
while (!pq.empty()) {
// 1. 第一步，选源点到哪个节点近且该节点未被访问过 （通过优先级队列来实现）
// <节点， 源点到该节点的距离>
pair<int, int> cur = pq.top(); pq.pop();
if (visited[cur.first]) continue;
// 2. 第二步，该最近节点被标记访问过
visited[cur.first] = true;
// 3. 第三步，更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组）
for (Edge edge : grid[cur.first]) { // 遍历 cur指向的节点，cur指向的节点为 edge
// cur指向的节点edge.to，这条边的权值为 edge.val
if (!visited[edge.to] && minDist[cur.first] + edge.val < minDist[edge.to]) { // 更新minDist
minDist[edge.to] = minDist[cur.first] + edge.val;
pq.push(pair<int, int>(edge.to, minDist[edge.to]));
}
}
}
if (minDist[end] == INT_MAX) cout << -1 << endl; // 不能到达终点
else cout << minDist[end] << endl; // 到达终点最短路径
}
- 时间复杂度：O(ElogE) E 为边的数量
- 空间复杂度：O(N + E) N 为节点的数量
堆优化的时间复杂度 只和边的数量有关 和节点数无关，在 优先级队列中 放的也是边。
以上代码中，while (!pq.empty()) 里套了 for (Edge edge : grid[cur.first])
for 里 遍历的是 当前节点 cur 所连接边。
那 当前节点cur 所连接的边 也是不固定的， 这就让大家分不清，这时间复杂度究竟是多少？
其实 for (Edge edge : grid[cur.first]) 里最终的数据走向 是 给队列里添加边。
那么跳出局部代码，整个队列 一定是 所有边添加了一次，同时也弹出了一次。
所以边添加一次时间复杂度是 O(E)， while (!pq.empty()) 里每次都要弹出一个边来进行操作，在优先级队列（小顶堆）中 弹出一个元素的时间复杂度是 O(logE) ，这是堆排序的时间复杂度。
（当然小顶堆里 是 添加元素的时候 排序，还是 取数元素的时候排序，这个无所谓，时间复杂度都是O(E)，总之是一定要排序的，而小顶堆里也不会滞留元素，有多少元素添加 一定就有多少元素弹出）
所以 该算法整体时间复杂度为 O（ElogE)
网上的不少分析 会把 n （节点的数量）算进来，这个分析是有问题的，举一个极端例子，在n 为 10000，且是有一条边的 图里，以上代码，大家感觉执行了多少次？
while (!pq.empty()) 中的 pq 存的是边，其实只执行了一次。
所以该算法时间复杂度 和 节点没有关系。
至于空间复杂度，邻接表是 数组 + 链表 数组的空间 是 N ，有E条边 就申请对应多少个链表节点，所以是 复杂度是 N + E
当然也有录友可能想 堆优化dijkstra 中 我为什么一定要用邻接表呢，我就用邻接矩阵 行不行 ？
也行的。
但 正是因为稀疏图，所以我们使用堆优化的思路， 如果我们还用 邻接矩阵 去表达这个图的话，就是 一个高效的算法 使用了低效的数据结构，那么 整体算法效率 依然是低的。
如果还不清楚为什么要使用 邻接表，可以再看看上面 我在 「图的存储」标题下的讲解。
这里我也给出 邻接矩阵版本的堆优化dijkstra代码：
#include <iostream>
#include <vector>
#include <list>
#include <climits>
using namespace std;
// 小顶堆
class mycomparison {
public:
bool operator()(const pair<int, int>& lhs, const pair<int, int>& rhs) {
return lhs.second > rhs.second;
}
};
int main() {
int n, m, p1, p2, val;
cin >> n >> m;
vector<vector<int>> grid(n + 1, vector<int>(n + 1, INT_MAX));
for(int i = 0; i < m; i++){
cin >> p1 >> p2 >> val;
// p1 指向 p2，权值为 val
grid[p1][p2] = val;
}
int start = 1; // 起点
int end = n; // 终点
// 存储从源点到每个节点的最短距离
std::vector<int> minDist(n + 1, INT_MAX);
// 记录顶点是否被访问过
std::vector<bool> visited(n + 1, false);
// 优先队列中存放 pair<节点，源点到该节点的距离>
priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, mycomparison> pq;
// 初始化队列，源点到源点的距离为0，所以初始为0
pq.push(pair<int, int>(start, 0));
minDist[start] = 0; // 起始点到自身的距离为0
while (!pq.empty()) {
// <节点， 源点到该节点的距离>
// 1、选距离源点最近且未访问过的节点
pair<int, int> cur = pq.top(); pq.pop();
if (visited[cur.first]) continue;
visited[cur.first] = true; // 2、标记该节点已被访问
// 3、第三步，更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组）
for (int j = 1; j <= n; j++) {
if (!visited[j] && grid[cur.first][j] != INT_MAX && (minDist[cur.first] + grid[cur.first][j] < minDist[j])) {
minDist[j] = minDist[cur.first] + grid[cur.first][j];
pq.push(pair<int, int>(j, minDist[j]));
}
}
}
if (minDist[end] == INT_MAX) cout << -1 << endl; // 不能到达终点
else cout << minDist[end] << endl; // 到达终点最短路径
}
- 时间复杂度：O(E * (N + logE)) E为边的数量，N为节点数量
- 空间复杂度：O(log(N^2))
while (!pq.empty()) 时间复杂度为 E ，while 里面 每次取元素 时间复杂度 为 logE，和 一个for循环 时间复杂度 为 N 。
所以整体是 E * (N + logE)
在学习一种优化思路的时候，首先就要知道为什么要优化，遇到了什么问题。
正如我在开篇就给大家交代清楚 堆优化方式的背景。
堆优化的整体思路和 朴素版是大体一样的，区别是 堆优化从边的角度出发且利用堆来排序。
很多录友别说写堆优化 就是看 堆优化的代码也看的很懵。
主要是因为两点：
- 不熟悉邻接表的表达方式
- 对dijkstra的实现思路还是不熟
这是我为什么 本篇花了大力气来讲解 图的存储，就是为了让大家彻底理解邻接表以及邻接表的代码写法。
至于 dijkstra的实现思路 ，朴素版 和 堆优化版本 都是 按照 dijkstra 三部曲来的。
理解了三部曲，dijkstra 的思路就是清晰的。
针对邻接表版本代码 我做了详细的 时间复杂度分析，也让录友们清楚，相对于 朴素版，时间都优化到哪了。
最后 我也给出了 邻接矩阵的版本代码，分析了这一版本的必要性以及时间复杂度。
至此通过 两篇dijkstra的文章，终于把 dijkstra 讲完了，如果大家对我讲解里所涉及的内容都吃透的话，详细对 dijkstra 算法也就理解到位了。