-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
anisotropy.tex
416 lines (379 loc) · 24.8 KB
/
anisotropy.tex
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
\section*{Глава 2\\Основные соотношения механики упругих анизотропных тел}
\addcontentsline{toc}{section}{Глава 2. Основные соотношения механики упругих анизотропных тел}
\setcounter{section}{2}
\setcounter{subsection}{0}
\setcounter{equation}{0}
\subsection{Тензор упругих постоянных}
В одномерном случае при не слишком больших деформациях напряжение будет линейно зависеть от деформаций.
В случае трёх пространственных переменных эта связь в самом общем случае будет иметь вид\cite{resler}:
\begin{align}
\label{rheology_equation}
\sigma_{ij} &= C_{ijkl}\varepsilon_{kl},
\end{align}
где $\sigma_{ij}$ -- тензор напряжений, $\varepsilon_{kl}$ -- тензор деформаций, $C_{ijkl}$ -- тензор упругих постоянных.
Это уравнение, по сути, реологическое соотношение из \eqref{initial_equations}.
В общем случае $C_{ijkl}$ имеет $3^{4} = 81$ компоненты. Однако, тензор деформаций симметричен по определению и имеет шесть независимых компонент.
Тензор напряжений также симметричен, поскольку при его определении мы не учитываем изгибающие моменты\cite{resler}.
Во всяком случае, существенно то, что тензор напряжений может быть приведён в симметричному виду\cite{landau_lifshits}.
Таким образом количество независимых компонент тензора упругих постоянных сокращается до $6^{2} = 36$.
Далее, в упругом случае, тензор упругих постоянных обладает дополнительной симметрией, за счёт потенциальности упругого деформирования. Обозначим $w$ -- потенциал уругости, тогда по определению: $dw = \sigma_{ij} d\varepsilon_{ij}$.
Учитывая, что:
\begin{align}
C_{ijkl} &= \frac{\partial{\sigma_{ij}}}{\partial{\varepsilon_{kl}}},
\end{align}
имеем:
\begin{align}
C_{ijkl} &= \frac{\partial^{2}{w}}{\partial{\varepsilon_{ij}\varepsilon_{kl}}}.
\end{align}
Последовательность вычисления производных в данном случае не имеет значения, поэтому $C_{ijkl} = C_{klij}$ и тензор упругих постоянных имеет 21 независимую компоненту.
Выражение \eqref{rheology_equation} с симметричной матрицей упругих постоянных \eqref{anisotropic_tensor} теперь удобно записать в виде:
\begin{align}
\left( \begin{array}{cccccccccccc}
\sigma_{11} \\
\sigma_{22} \\
\sigma_{33} \\
\sigma_{23} \\
\sigma_{13} \\
\sigma_{12}
\end{array} \right){}
= \left( \begin{array}{cccccccccccc}
c_{11} & c_{12} & c_{13} & c_{14} & c_{15} & c_{16} \\
c_{12} & c_{22} & c_{23} & c_{24} & c_{25} & c_{26} \\
c_{13} & c_{23} & c_{33} & c_{34} & c_{35} & c_{36} \\
c_{14} & c_{24} & c_{34} & c_{44} & c_{45} & c_{46} \\
c_{15} & c_{25} & c_{35} & c_{45} & c_{55} & c_{56} \\
c_{16} & c_{26} & c_{36} & c_{46} & c_{56} & c_{66}
\end{array} \right){}
\left( \begin{array}{cccccccccccc}
\varepsilon_{11} \\
\varepsilon_{22} \\
\varepsilon_{33} \\
\varepsilon_{23} \\
\varepsilon_{13} \\
\varepsilon_{12}
\end{array} \right)
\end{align}
\subsection{Исследование общего случая}
Теперь перейдём к исследованию общего случая.
Как уже было сказано, обозначив $\vec{u}=\{v_x,v_y,v_z,\sigma_{xx},\sigma_{xy},\sigma_{xz},\sigma_{yy},\sigma_{yz},\sigma_{zz}\}^T$ -- вектор искомых решений, уравнения \eqref{anisotropic_equations} предстанут в виде:
\begin{equation}
\label{matrix_anisotropy_equation}
\frac{\partial\vec{u}}{\partial{t}}+\mathbf{A}_x\frac{\partial\vec{u}}{\partial{x}}+
\mathbf{A}_y\frac{\partial\vec{u}}{\partial{y}}+
\mathbf{A}_z\frac{\partial\vec{u}}{\partial{z}}=0,
\end{equation}
где $\mathbf{A}_x$, $\mathbf{A}_y$, $\mathbf{A}_z$ -- матрицы \eqref{anisotropic_mat1}, \eqref{anisotropic_mat2}, \eqref{anisotropic_mat3} соответственно, из пункта 1.3.
Для применения сеточно-характеристического метода будет необходимо будет разделить систему на девять уравнений -- перейти к \textit{инвариантам Римана}.
Для это необходимо будет диагонализовать матрицы $\mathbf{A}_x$, $\mathbf{A}_y$, $\mathbf{A}_z$.
Ввиду их блочной структуры представляется возможным сделать это аналитически\cite{favorskaya}.
Итак, обозначая $\lambda^{2} = t$, где $\lambda$ -- собственные значения матрицы $\mathbf{A}_x$, а $t$ задаются кубическим уравнением:
\begin{small}
\begin{align}
\label{eigenvalue_equation1}
t^{3} &- \frac{1}{\rho}(c_{11} + c_{55} + c_{66})\;t^{2} - \frac{1}{\rho^{2}}(c_{15}^{2} - c_{11}c_{55} + c_{16}^{2} - c_{11}c_{66} + c_{56}^{2} - c_{55}c_{66})\;t\;+ \nonumber\\
&+ \frac{1}{\rho^{3}}((c_{56}^{2} - c_{55}c_{66})c_{11} + (c_{16}c_{55} - c_{15}c_{56})c_{16} + (c_{15}c_{66} - c_{16}c_{56})c_{15}) = 0,
\end{align}
\end{small}
решения которого могут быть аналитически вычисленны с помощью тригонометрической формулы Виета. В итоге, имеем следующие собственные значения $\mathbf{A}_x$:
\begin{align}
\left\{\sqrt{t_{11}},\;-\sqrt{t_{11}},\;\sqrt{t_{12}},\;-\sqrt{t_{12}},\;\sqrt{t_{13}},\;-\sqrt{t_{13}},\;0,\;0,\;0\right\},
\end{align}
где $t_{11}$, $t_{12}$, $t_{13}$ -- действительные положительные корни \eqref{eigenvalue_equation1}.
Аналогично для $\mathbf{A}_y$, имеем:
\begin{small}
\begin{align}
\label{eigenvalue_equation2}
t^{3} &- \frac{1}{\rho}(c_{22} + c_{44} + c_{66})\;t^{2} - \frac{1}{\rho^{2}}(c_{24}^{2} - c_{22}c_{44} + c_{26}^{2} - c_{22}c_{66} + c_{46}^{2} - c_{44}c_{66})\;t\;+ \nonumber\\
&+ \frac{1}{\rho^{3}}((c_{46}^{2} - c_{44}c_{66})c_{22} + (c_{26}c_{44} - c_{24}c_{46})c_{26} + (c_{24}c_{66} - c_{26}c_{46})c_{24}) = 0.
\end{align}
\end{small}
Собственные значения $\mathbf{A}_y$ имеют вид:
\begin{align}
\left\{\sqrt{t_{21}},\;-\sqrt{t_{21}},\;\sqrt{t_{22}},\;-\sqrt{t_{22}},\;\sqrt{t_{23}},\;-\sqrt{t_{23}},\;0,\;0,\;0\right\},
\end{align}
где $t_{21}$, $t_{22}$, $t_{23}$ -- действительные положительные корни \eqref{eigenvalue_equation2}.
Аналогично для $\mathbf{A}_z$, имеем:
\begin{small}
\begin{align}
\label{eigenvalue_equation3}
t^{3} &- \frac{1}{\rho}(c_{33} + c_{44} + c_{55})\;t^{2} - \frac{1}{\rho^{2}}(c_{34}^{2} - c_{33}c_{44} + c_{35}^{2} - c_{33}c_{55} + c_{45}^{2} - c_{44}c_{55})\;t\;+ \nonumber\\
&+ \frac{1}{\rho^{3}}((c_{45}^{2} - c_{44}c_{55})c_{33} + (c_{35}c_{44} - c_{34}c_{45})c_{35} + (c_{34}c_{55} - c_{35}c_{45})c_{34}) = 0.
\end{align}
\end{small}
Собственные значения $\mathbf{A}_z$ имеют вид:
\begin{align}
\left\{\sqrt{t_{31}},\;-\sqrt{t_{31}},\;\sqrt{t_{32}},\;-\sqrt{t_{32}},\;\sqrt{t_{33}},\;-\sqrt{t_{33}},\;0,\;0,\;0\right\},
\end{align}
где $t_{31}$, $t_{32}$, $t_{33}$ -- действительные положительные корни \eqref{eigenvalue_equation3}.
Аналитическое нахождение собственных векторов матриц \eqref{anisotropic_mat1}-\eqref{anisotropic_mat3} сводится к решению системы линейных уравнений $3\times3$.{}
Действительно, рассмотрим, например, уравнение на собственные векторы матрицы $\mathbf{A}_x$:
\begin{align}
\label{eigenvector_equation}
\left( \begin{array}{cccccccccccc}
\lambda & 0 & 0 & \frac 1 \rho & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & \lambda & 0 & 0 & \frac 1 \rho & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \lambda & 0 & 0 & \frac 1 \rho & 0 & 0 & 0 \\
c_{11} & c_{16} & c_{15} & \lambda & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
c_{16} & c_{66} & c_{56} & 0 & \lambda & 0 & 0 & 0 & 0 \\
c_{15} & c_{56} & c_{55} & 0 & 0 & \lambda & 0 & 0 & 0 \\
c_{12} & c_{26} & c_{25} & 0 & 0 & 0 & \lambda & 0 & 0 \\
c_{14} & c_{46} & c_{45} & 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda & 0 \\
c_{13} & c_{36} & c_{35} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda
\end{array} \right){}
\left( \begin{array}{cccccccccccc}
l_1 \\
l_2 \\
l_3 \\
l_4 \\
l_5 \\
l_6 \\
l_7 \\
l_8 \\
l_9
\end{array} \right){}
= 0,
\end{align}
где $\vec{l}$ -- собственный вектор $\mathbf{A}_x$, соответствующий собственному значению $\lambda$.
Выражая $l_4$, $l_5$, $l_6$ из первых трёх уравнений и подставляя их в 4-ую, 5-ую и 6-ую строчки соответственно, получим систему уравнений на компоненты $l_1$, $l_2$, $l_3$:
\begin{align}
\label{simple_eigenvector_equation}
\left( \begin{array}{cccccccccccc}
c_{11} + \rho\lambda^{2} & c_{16} & c_{15} \\
c_{16} & c_{66} + \rho\lambda^{2} & c_{56} \\
c_{15} & c_{56} & c_{55} + \rho\lambda^{2}
\end{array} \right){}
\left( \begin{array}{cccccccccccc}
l_1 \\
l_2 \\
l_3
\end{array} \right){}
= 0
\end{align}
Матрица из \eqref{simple_eigenvector_equation} имеет нулевой определитель, поскольку определитель $\mathbf{A}_x$ равен нулю, а остальные строчки в ней, при таком эквивалентном преобразовании матрицы, линейно независимы.
В этом случае матрица имеет ранг либо 1, что соответствует корню кратности 2, либо ранг 2, что соответствует корню кратности 1.
Находя минор соответствующей размерности с отличным от нуля определителем и решая систему с ним, получаем компоненты $l_1$, $l_2$, $l_3$ и затем все остальные.
\subsection{Изотропный случай}
Материал считается изотропным если его свойства одинаковы во всех направлениях.
Следовательно, компоненты тензора упругости должны оставаться неизменными при произвольном повороте материала.
После этого число независимых компонент матрицы упругих постоянных $c_{ij}$ сокращается до двух и она принимает вид:
\begin{align}
\left( \begin{array}{cccccccccccc}
c_{11} & c_{12} & c_{12} & 0 & 0 & 0 \\
c_{12} & c_{11} & c_{12} & 0 & 0 & 0 \\
c_{12} & c_{12} & c_{11} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & c_{44} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & c_{44} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{44}
\end{array} \right){}
\end{align}
При этом копоненты матрицы связаны дополнительным соотношением:
\begin{equation}
c_{44} = \frac{c_{11} - c_{12}}{2},
\end{equation}
поэтому независимых компонент -- две.
Указанные компоненты имеют следующую связь с коэффициентами Ламе $\lambda$ и $\mu$:
\begin{align}
\lambda = c_{12} = \frac{E\nu}{(1 + \nu)(1 - 2\nu)};\\
\mu = c_{44} = G = \frac{E}{2(1 + \nu)}.
\end{align}
Этот случай полностью соответствует рассмотрению пункта 1.2.
\subsection{Виды анизотропии}
\subsubsection{Орторомбическая анизотропия}
Если свойства материала неодинаковы вдоль трёх различных взаимно перпендикулярных направлений, то такую анизотропию называют орторомбической.
В этом случае выделяют три оси симметрии, количество независимых компонент матрицы упругих постоянных $c_{ij}$ сокращается до девяти, и она принимает вид:
\begin{align}
\label{orthorombic_tensor}
\left( \begin{array}{cccccccccccc}
c_{11} & c_{12} & c_{13} & 0 & 0 & 0 \\
c_{12} & c_{22} & c_{23} & 0 & 0 & 0 \\
c_{13} & c_{23} & c_{33} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & c_{44} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & c_{55} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{66}
\end{array} \right){}
\end{align}
Матрицы $\mathbf{A}_x$, $\mathbf{A}_y$, $\mathbf{A}_z$ в уравнениях \eqref{matrix_anisotropy_equation} примут вид:
\begin{align}
\label{orthorombic_mat1}
\mathbf{A}_x = -
\left( \begin{array}{cccccccccccc}
0 & 0 & 0 & \frac 1 \rho & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \frac 1 \rho & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac 1 \rho & 0 & 0 & 0 \\
c_{11} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & c_{66} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & c_{55} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
c_{12} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
c_{13} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array} \right),
\end{align}
\begin{align}
\label{orthorombic_mat2}
\mathbf{A}_y = -
\left( \begin{array}{cccccccccccc}
0 & 0 & 0 & 0 & \frac 1 \rho & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac 1 \rho & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac 1 \rho & 0 \\
0 & c_{12} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
c_{66} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & c_{22} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & c_{44} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & c_{23} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array} \right),
\end{align}
\begin{align}
\label{orthorombic_mat3}
\mathbf{A}_z = -
\left( \begin{array}{cccccccccccc}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac 1 \rho & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac 1 \rho & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac 1 \rho \\
0 & 0 & c_{13} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
c_{55} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & c_{23} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & c_{44} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & c_{33} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array} \right).
\end{align}
Собственныее значения этих матриц имеют очень простой и наглядный вид.
Они обозначают \textit{скорости распространения одной продольной и двух поперечных волн} для пакета, распространяющегося вдоль оси, соответствующей индексу матрицы.
Множество собственных значений матрицы $\mathbf{A}_x$, заданной выражением \eqref{orthorombic_mat1}, имеет вид:
\begin{align}
\left\{0,\;0,\;0,\;\sqrt{\frac{c_{11}}{\rho}},\;\sqrt{\frac{c_{55}}{\rho}},\;\sqrt{\frac{c_{66}}{\rho}},\;-\sqrt{\frac{c_{11}}{\rho}},\;-\sqrt{\frac{c_{55}}{\rho}},\;-\sqrt{\frac{c_{66}}{\rho}}\right\}.
\end{align}
Матрица собственных строк $\Omega_x$ имеет вид:
\begin{align}
\mathbf{\Omega}_x =
\left( \begin{array}{cccccccccccc}
0 & 0 & 0 & -\frac{c_{12}}{c_{11}} & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -\frac{c_{13}}{c_{11}} & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
-\sqrt{c_{11}\rho} & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -\sqrt{c_{55}\rho} & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -\sqrt{c_{66}\rho} & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\sqrt{c_{11}\rho} & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \sqrt{c_{55}\rho} & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & \sqrt{c_{66}\rho} & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array} \right).
\end{align}
Множество собственных значений матрицы $\mathbf{A}_y$, заданной выражением \eqref{orthorombic_mat2}, имеет вид:
\begin{align}
\left\{0,\;0,\;0,\;\sqrt{\frac{c_{22}}{\rho}},\;\sqrt{\frac{c_{44}}{\rho}},\;\sqrt{\frac{c_{66}}{\rho}},\;-\sqrt{\frac{c_{22}}{\rho}},\;-\sqrt{\frac{c_{44}}{\rho}},\;-\sqrt{\frac{c_{66}}{\rho}}\right\}.
\end{align}
Матрица собственных строк $\Omega_y$ имеет вид:
\begin{align}
\mathbf{\Omega}_y =
\left( \begin{array}{cccccccccccc}
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -\frac{c_{12}}{c_{22}} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -\frac{c_{23}}{c_{22}} & 0 & 1 \\
0 & -\sqrt{c_{22}\rho} & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -\sqrt{c_{44}\rho} & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
-\sqrt{c_{66}\rho} & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & \sqrt{c_{22}\rho} & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \sqrt{c_{44}\rho} & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
\sqrt{c_{66}\rho} & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array} \right).
\end{align}
Множество собственных значений матрицы $\mathbf{A}_z$, заданной выражением \eqref{orthorombic_mat3}, имеет вид:
\begin{align}
\left\{0,\;0,\;0,\;\sqrt{\frac{c_{33}}{\rho}},\;\sqrt{\frac{c_{44}}{\rho}},\;\sqrt{\frac{c_{55}}{\rho}},\;-\sqrt{\frac{c_{33}}{\rho}},\;-\sqrt{\frac{c_{44}}{\rho}},\;-\sqrt{\frac{c_{55}}{\rho}}\right\}.
\end{align}
Матрица собственных строк $\Omega_z$ имеет вид:
\begin{align}
\mathbf{\Omega}_z =
\left( \begin{array}{cccccccccccc}
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -\frac{c_{13}}{c_{33}} \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -\frac{c_{23}}{c_{33}} \\
0 & 0 & -\sqrt{c_{33}\rho} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & -\sqrt{c_{44}\rho} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
-\sqrt{c_{55}\rho} & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \sqrt{c_{33}\rho} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & \sqrt{c_{44}\rho} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
\sqrt{c_{55}\rho} & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0
\end{array} \right).
\end{align}
Собственные значения этих матриц имеют наглядный физический смысл \cite{favorskaya}.
На Рис. 1 изображены три квазиодномерные волны, распространяющиеся вдоль трёх осей.
Каждая из этих волн состоит из одной продольной и двух поперечных волн.
Ненулевые собственные значения матриц $\mathbf{A}_x$, $\mathbf{A}_y$, $\mathbf{A}_z$ являют собой скорости распространения этих волн для каждой квазиодномерной волны.
На рисунке пара цифр означает индекс упругой постоянной, которая присутствует в выражении скорости распространения соответствующей волны.
\begin{figure}[H]
\centerline{\includegraphics[width=0.5\textwidth]{png/speeds.png}}
\caption{Скорости распространения продольной и двух поперечных волн для каждой квазиодномерной волны.}
\label{pic:speeds-waves}
\end{figure}
\subsubsection{Трансверсальньно изотропное тело}
Следующий тип анизотропии предполагает наличие во всех точках параллельных плоскостей упругой симметрии\cite{lehnitsky}.
Иначе говоря, в каждой точке есть плоскость все направления в которой эквивалентны, а также есть выделенное направление, нормальное к плоскости.
Примем за выделенное направление множество векторов коллинеарных оси $Z$, тогда плоскости изотропии будут параллельны плоскости $XY$.
Матрица упругих постоянных имеет в этом случае всего пять независимых компонент:
\begin{align}
\label{vert_trans_tensor}
\left( \begin{array}{cccccccccccc}
c_{11} & c_{12} & c_{13} & 0 & 0 & 0 \\
c_{12} & c_{11} & c_{13} & 0 & 0 & 0 \\
c_{13} & c_{13} & c_{33} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & c_{44} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & c_{44} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{66}
\end{array} \right){}
\end{align}
где компоненты $c_{11}$, $c_{12}$, $c_{66}$ связаны соотношением:
\begin{equation}
c_{66} = \frac{c_{11} - c_{12}}{2}.
\end{equation}
Тензор упругих постоянных в этом случае похож на его аналог для орторомбической анизотропии, но тут он имеет меньшее количество независимых компонент.
Это значит, что матрицы $\mathbf{A}_x$, $\mathbf{A}_y$, $\mathbf{A}_z$, а значит и собственные значения и собственные строки, имеют вид \eqref{orthorombic_mat1}-\eqref{orthorombic_mat3} с той лишь разницей, что некоторые компоненты зависимы и выражаются через другие.
Данный вид анизотропии типичен для гексагональных решёток, а также для матрицы, аримированной однонаправленными волокнами -- основы ПКМ.
\subsection{Преобразование тензора упругих постоянных при повороте базиса}
Многослойные ПКМ состоят из одинаковых слоёв, по-разному ориентированных вокруг оси укладки композита.
Для расчёта конструкций необходимо найти вид тензора упругих постоянных в произвольно ориентированном базисе \cite{favorskaya}.
Пусть $\theta_{x}$, $\theta_{y}$, $\theta_{z}$ -- углы поворота вокруг осей $x$, $y$, $z$ соответственно.
Чтобы перейти от старого базиса к новому нужно произвести последовательно эти повороты.
Матрицы поворота будут иметь вид:
\begin{align}
\label{rotation_mat1}
\mathbf{G}_x =
\left( \begin{array}{cccccccccccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & \cos \theta_{x} & -\sin \theta_{x} \\
0 & \sin \theta_{x} & \cos \theta_{x}
\end{array} \right),
\end{align}
\begin{align}
\label{rotation_mat2}
\mathbf{G}_y =
\left( \begin{array}{cccccccccccc}
\cos \theta_{y} & 0 & \sin \theta_{y} \\
0 & 1 & 0 \\
-\sin \theta_{y} & 0 & \cos \theta_{y}
\end{array} \right),
\end{align}
\begin{align}
\label{rotation_mat3}
\mathbf{G}_z =
\left( \begin{array}{cccccccccccc}
\cos \theta_{z} & -\sin \theta_{z} & 0 \\
\sin \theta_{z} & \cos \theta_{z} & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array} \right).
\end{align}
Итоговая матрица преобразования базиса $\mathbf{G} = \mathbf{G}_{x}\mathbf{G}_{y}\mathbf{G}_{z}$ имеет вид:
\begin{align}
\label{rotation_mat}
\left( \begin{array}{cccccccccccc}
\cos \theta_{y} \cos \theta_{z} & \cos \theta_{z} \sin \theta_{x} \sin \theta_{y} - \sin \theta_{z} \cos \theta_{x} & \cos \theta_{x} \sin \theta_{y} \cos \theta_{z} + \sin \theta_{x} \sin \theta_{z} \\
\cos \theta_{y} \sin \theta_{z} & \sin \theta_{z} \sin \theta_{x} \sin \theta_{y} + \cos \theta_{z} \cos \theta_{x} & \cos \theta_{x} \sin \theta_{y} \sin \theta_{z} - \sin \theta_{x} \cos \theta_{z} \\
- \sin \theta_{y} & \sin \theta_{x} \cos \theta_{y} & \cos \theta_{x} \cos \theta_{y}
\end{array} \right)
\end{align}
В итоге, тензор упругих постоянных $C_{ijkl}$, обсуждаемый в пункте 2.1, при поворотах системы координат будет преобразовываться по закону:
\begin{align}
C_{mnpq} = \sum_{i,\;j,\;k,\;l = 1}^{3} g_{mi}\;g_{nj}\;g_{pk}\;g_{ql}\;C_{ijkl},
\end{align}
где $g_{ij}$ -- тензор поворота, соответствующий матрице $\mathbf{G}$.