forallx-ch1-intro.tex

%!TEX root = forallx.tex

%SR fordítása kezdet

\chapter*{What is logic?}
\chapter{Mi a logika?}
\label{ch.intro}

Logic is the business of evaluating arguments, sorting good ones from bad ones. In everyday language, we sometimes use the word `argument' to refer to belligerent shouting matches. If you and a friend have an argument in this sense, things are not going well between the two of you.

A logika az érvelés kiértékelése, a jó elválasztása a rossztól. A hétköznapi nyelvben néha a „vita” szót használjuk az agresszív párbeszéd jellemzésére. Ha te és egy barátod így vitatkoztok, a dolgok nem alakulnak valami fényesen kettőtök közt.

In logic, we are not interested in the teeth-gnashing, hair-pulling kind of argument. A logical argument is structured to give someone a reason to believe some conclusion. Here is one such argument:

A logikában hidegen hagy minket a fogcsikorgatós hajhúzós vita. Egy logikus érvelés felépítésének célja az, hogy valaki számára hihetővé tegyen egy következtetést. Itt van egy ilyen érvelés:

\label{argRaining}
\begin{earg}
\item[(1)] It is raining heavily.
\item[(2)] If you do not take an umbrella, you will get soaked.
\item[\therefore] You should take an umbrella.
\end{earg}

\label{argRaining}
\begin{earg}
\item[(1)] Zuhog az eső.
\item[(2)] Ha nem viszel esernyőt, el fogsz ázni.
\item[\therefore] Vigyél egy esernyőt.
\end{earg}

The three dots on the third line of the argument mean `Therefore' and they indicate that the final sentence is the \emph{conclusion} of the argument. The other sentences are \emph{premises} of the argument. If you believe the premises, then the argument provides you with a reason to believe the conclusion.

Az érvelés harmadik sorában lévõ három pont ezt jelenti: „Ezért”, és azt jelzi, hogy az utolsó mondat a \emph{következtetés}. A többi mondat az \emph{előfeltétel}. Ha elhiszed az előfeltételeket, az érvelés okot ad arra, hogy a következtetést is elhidd.

This chapter discusses some basic logical notions that apply to arguments in a natural language like English. It is important to begin with a clear understanding of what arguments are and of what it means for an argument to be valid. Later we will translate arguments from English into a formal language. We want formal validity, as defined in the formal language, to have at least some of the important features of natural-language validity.

Ez a fejezet néhány alapvető logikai fogalmat tárgyal, amik alkalmazhatóak érvelésekben, egy természetes nyelv használata során, ilyen például a magyar nyelv. Fontos, hogy egyértelműen megértsük, mi az érvelés és mit jelent az érvelés érvényessége. Később lefordítjuk az érveket magyarról  egy formális nyelvre. Azt szeretnénk ettől az fordítástól, hogy megmaradjanak a természetes nyelv fontos jellemzői is.

\section{Arguments}
When people mean to give arguments, they typically often use words like `therefore' and `because.' When analyzing an argument, the first thing to do is to separate the premises from the conclusion. Words like these are a clue to what the argument is supposed to be, especially if--- in the argument as given--- the conclusion comes at the beginning or in the middle of the argument.

Amikor az emberek érvelni akarnak, általában olyan szavakat használnak, mint „ezért” és „mert”. Egy érv elemzésekor az első lépés, hogy elkülönítsük az előfeltételeket a konkluziótol. Az ilyen szavak információt nyujtanak arról, hogy milyennek kell lennie egy érvelésnek, különösen, ha --az adott érvben-- a következtetés az érvelés elején vagy közepén található.

%SR fordítása vége

%ST fordítása kezdet

\begin{description}
\item[premise indicators:] since, because, given that
\item[conclusion indicators:] therefore, hence, thus, then, so
\end{description}
\nix{could expand this list}

\begin{description}
\item[előfeltételek mutatói:] mivel, mert, feltéve hogy
\item[következtetés mutatók:] ezért, ennél fogva, így, akkor, úgy
\end{description}
\nix{could expand this list}


To be perfectly general, we can define an \define{argument} as a series of sentences. The sentences at the beginning of the series are premises. The final sentence in the series is the conclusion. If the premises are true and the argument is a good one, then you have a reason to accept the conclusion.


Ahhoz, hogy tökéletesen általánosak lehessünk, definiálhatunk egy \define{érvelést} mint egy mondat sorozatot. A sorozat elején szereplő mondatok az előfeltételek (vagy premisszák, hipotézisek). A sorozat utolsó mondata a következtetés (vagy konklúzió). Ha az előfeltételek igazak, és az érv jó, akkor jó okunk van elfogadni a következtetést.


Notice that this definition is quite general. Consider this example:
\begin{earg}
\item[] There is coffee in the coffee pot.
\item[] There is a dragon playing bassoon on the armoire.
\item[\therefore] Salvador Dali was a poker player.
\end{earg}


Vegyük figyelembe hogy a következő állítások álltalánosak.Vegyük is a következő példát:
\begin{earg}
\item[] Van kávé a kávéfőzőben.
\item[] Van egy sárkány a gardróbban aki fagotton játszik.
\item[\therefore] Salvador Dali egy póker játékos volt.
\end{earg}


It may seem odd to call this an argument, but that is because it would be a {terrible} argument. The two premises have nothing at all to do with the conclusion. Nevertheless, given our definition, it still counts as an argument--- albeit a bad one.


Furcsának tűnhet ezt érvnek hívni, de ez azért van, mert ez {szörnyű} érv lenne. A két állításnak semmi köze sincs a következtetéshez. Ennek ellenére, a definíciónkat figyelembe véve, ez továbbra is érvnek számít -- akkor is ha egy elég rossz érv.


\section*{Sentences}
\label{intro.sentences}
In logic, we are only interested in sentences that can figure as a premise or conclusion of an argument. So we will say that a \define{sentence} is something that can be true or false.


\section*{Mondatok}
\label {intro.sentences}
A logikában csak azok a mondatok érdekelnek minket, amelyek érvelés alapjául vagy következtetéséül szolgálnak. Tehát azt fogjuk mondani, hogy a \define{mondat} az valami ami lehet igaz vagy hamis.


You should not confuse the idea of a sentence that can be true or false with the difference between fact and opinion. Often, sentences in logic will express things that would count as facts--- such as `Kierkegaard was a hunchback' or `Kierkegaard liked almonds.' They can also express things that you might think of as matters of opinion--- such as, `Almonds are yummy.'


Nem szabad összekevernünk azt a gondolatot, hogy egy mondat lehet igaz vagy hamis a tény és a vélemény közti különbséggel. A logikában szereplő mondatok gyakran olyan dolgokat fognak kifejezni, amelyek tényeknek számítanak - például, mint a „Kierkegaard egy filozófus volt” vagy „Kierkegaard szerette a mandulát”. Olyan dolgokat is kifejezhetnek, amelyekre gondolhatunk úgy, mint vélemény, például: „A mandula finom”.

Also, there are things that would count as `sentences' in a linguistics or grammar course that we will not count as sentences in logic.

Vannak olyan dolgok is, amelyek „mondatoknak” számítanak egy nyelvészeti vagy nyelvtani értelemben, és amelyeket nem tekintünk mondatoknak a logikában.

\paragraph{Questions} In a grammar class, `Are you sleepy yet?' would count as an interrogative sentence. Although you might be sleepy or you might be alert, the question itself is neither true nor false. For this reason, questions will not count as sentences in logic. Suppose you answer the question: `I am not sleepy.' This is either true or false, and so it is a sentence in the logical sense. Generally, \emph{questions} will not count as sentences, but \emph{answers} will.


\paragraph{Kérdések} Egy nyelvtanórán a „Még álmos vagy?” kérdező mondatnak számítana. Bár lehet valaki álmos is, vagy akár éber, maga a kérdés se nem igaz, se nem hamis. Ezért a kérdéseket nem tekintjük  mondatoknak  a logikában. Tegyük fel, hogyan válaszolnánk a következő kérdésre: „Nem vagyok álmos”. Ez vagy igaz, vagy hamis, tehát logikai értelemben egy mondat. Általában a \emph{kérdések} nem számítanak mondatnak, de a \emph{válaszok} igen.


`What is this course about?' is not a sentence. `No one knows what this course is about' is a sentence.



„Miről szól ez a kurzus?” Nem számít mondatnak. „Senki sem tudja, miről szól ez a kurzus” pedig mondatnak számít.


%ST fordítása vége

%HP fordítása kezdet

\paragraph{Imperatives} Commands are often phrased as imperatives like `Wake up!', `Sit up straight', and so on. In a grammar class, these would count as imperative sentences. Although it might be good for you to sit up straight or it might not, the command is neither true nor false. Note, however, that commands are not always phrased as imperatives. `You will respect my authority' \emph{is} either true or false--- either you will or you will not--- and so it counts as a sentence in the logical sense.

\paragraph{Felszólítás} A parancsok hasonlóképpen, felszólításként fogalmazhatóak meg, mint a „Kellj fel!”, „Ülj egyenesen!”, stb. Nyelvtan órán ezeket felszólító mondatnak nevezzük. Habár neked lehet, hogy jobb egyenesen ülni, de az is lehet, hogy nem. Ezért ez a felszólítás se nem igaz, se nem hamis. Meg kell jegyezni azonban, hogy a parancsok nem mindig jelentenek felszólítást. „Tisztelni fogsz engem” vagy igaz, vagy hamis -- vagy fogod, vagy nem -- és éppen ezért a logikai felfogásban mondatnak számít.

\paragraph{Exclamations} `Ouch!' is sometimes called an exclamatory sentence, but it is neither true nor false. We will treat `Ouch, I hurt my toe!' as meaning the same thing as `I hurt my toe.' The `ouch' does not add anything that could be true or false.

\paragraph{Felkiáltás} „Jaj!” felkiáltó mondatnak nevezzük, de se nem igaz se nem hamis. A „Jaj, felsértettem a lábamat!” és a „Felsértettem a lábamat!” ugyan azt jelenti. A „jaj” kifejezés semmit sem segít abban, hogy eldöntsük ez igaz vagy sem.


\section*{Two ways that arguments can go wrong}
\section{Két eset, ahol az érvelés rossz lehet}
Consider the argument that you should take an umbrella (on p.~\pageref{argRaining}, above). If premise (1) is false--- if it is sunny outside--- then the argument gives you no reason to carry an umbrella. Even if it is raining outside, you might not need an umbrella. You might wear a rain poncho or keep to covered walkways. In these cases, premise (2) would be false, since you could go out without an umbrella and still avoid getting soaked.

Képzeld el az esetet, amelyben esernyőt kellene magaddal vinned (lásd. ~\pageref{argRaining}. oldal). Ha a feljebb említett állítás (1) hamis, -- napos kint az idő -- akkor a helyzet nem ad rá okot, hogy esernyőt vigyél magaddal. Még ha esik is az eső, nem feltétlenül kell esernyőt vinned. Esetleg esőkabátot húzol vagy fedett utakon maradsz. Ezekben az esetekben a második állítás (2) hamis, mivel esernyő nélkül is kimehetsz anélkül, hogy megáznál.

Suppose for a moment that both the premises are true. You do not own a rain poncho. You need to go places where there are no covered walkways. Now does the argument show you that you should take an umbrella? Not necessarily. Perhaps you enjoy walking in the rain, and you would like to get soaked. In that case, even though the premises were true, the conclusion would be false.

Tételezzük fel, hogy mind a két állítás igaz. Nincsen esőkabátod és fedetlen utakon kell menned. Ebből az következik, hogy esernyőt kell vinned? Nem feltétlenül. Talán csak szeretsz esőben sétálni és elázni. Ebben az esetben, annak ellenére, hogy a feltételek igazak, az eredmény mégis hamis.

For any argument, there are two ways that it could be weak. First, one or more of the premises might be false. An argument gives you a reason to believe its conclusion only if you believe its premises. Second, the premises might fail to support the conclusion. Even if the premises were true, the form of the argument might be weak. The example we just considered is weak in both ways.

Bármi is legyen az érv, két oka lehet annak, hogy az hibás. Először, az állítások közül egy vagy akár több is hamis lehet. Az érvelés csak akkor adhat okot arra, hogy a kimenete valóban igaz, ha az állításait igaznak véljük. Másodszor, az állítások esetleg nem támasztják alá a kimenet hitelességét. Még ha az állítások igazak is, az érvelés gyenge lehet. A példa, ami éppen az előbb került megemlítésre, egyik esetben sem felelt meg ezeknek a kritériumoknak.

When an argument is weak in the second way, there is something wrong with the \emph{logical form} of the argument: Premises of the kind given do not necessarily lead to a conclusion of the kind given. We will be interested primarily in the logical form of arguments.

Amennyiben az érvelés gyenge az előbb említett második esetben, akkor a \emph{logikai formában} van a hiba: Tehát, az adott állítások nem feltétlenül igazolják annak eredményét. Számunkra elsősorban az érvelések logikai formája lesz a fontos.

%HP fordítása vége

%SB fordítása kezdet

Consider another example:
\begin{earg}
\item[] You are reading this book.
\item[] This is a logic book.
\item[\therefore] You are a logic student.
\end{earg}

Vegyünk egy másik példát:
\begin{earg}
\item[] Te olvasod ezt a könyvet.
\item[] Ez egy logika könyv.
\item[\therefore] Te egy logika hallgató vagy.
\end{earg}

This is not a terrible argument. Most people who read this book are logic students. Yet, it is possible for someone besides a logic student to read this book. If your roommate picked up the book and thumbed through it, they would not immediately become a logic student. So the premises of this argument, even though they are true, do not guarantee the truth of the conclusion. Its logical form is less than perfect.

Ez nem egy szörnyű érv. A legtöbb ember, aki olvassa ezt a könyvet az logika hallgató. Ennek ellenére lehetséges, hogy a logika hallgatók mellett más is elolvassa ezt a könyvet. Ha a szobatársaid felveszik a könyvet és átfutnak rajta, attól ők még nem lesznek egyből logika hallgatók. Tehát, ha ennek az érvnek a feltevései bár igazak is, attól ez még nem garantálja a következtetés igazságát. A logikai formája kevésbé tökéletes.

An argument that had no weakness of the second kind would have perfect logical form. If its premises were true, then its conclusion would \emph{necessarily} be true. We call such an argument `deductively valid' or just `valid.'

Egy érvnek, amelynek nincs másodfajú gyengesége, tökéletes logikus formája lenne. Ha a feltevések igazak voltak, akkor a következtetésnek is \emph{szükségszerűen} igaznak kell lennie. Egy ilyen érvet deduktívan érvényesnek vagy csak simán érvényesnek nevezünk.

Even though we might count the argument above as a good argument in some sense, it is not valid; that is, it is `invalid.' One important task of logic is to sort valid arguments from invalid arguments.

Annak ellenére, hogy a fenti érvet jónak tekinthetjük néhány szempont alapján, attól ez még nem érvényes, azaz érvénytelen. Egy fontos logikai feladat, hogy szétválasszuk az érvényes érveket az érvénytelenektől.

\section*{Deductive validity}
\section{Deduktív érvényesség}
An argument is deductively \define{valid} if and only if it is impossible for the premises to be true and the conclusion false.

Egy érv deduktívan \define{érvényes} akkor és csak is akkor, ha lehetetlen, hogy a feltevések igazak legyenek és a következtetések hamisak.

The crucial thing about a valid argument is that it is impossible for the premises to be true \emph{at the same time} that the conclusion is false. Consider this example:

A legfontosabb dolog az érvényes érvnél, hogy az lehetetlen, hogy a feltevések igazak \emph{ugyanabban az időben}, amikor a következtetés hamis. Nézzük ezt a példát:

\begin{earg}
\item[] Oranges are either fruits or musical instruments.
\item[] Oranges are not fruits.
\item[\therefore] Oranges are musical instruments.
\end{earg}

\begin{earg}
\item[] A narancsok vagy gyümölcsök vagy zenei hangszerek.
\item[] A narancsok nem gyümölcsök.
\item[\therefore] A narancsok zenei hangszerek.
\end{earg}

The conclusion of this argument is ridiculous. Nevertheless, it follows validly from the premises. This is a valid argument. \emph{If} both premises were true, \emph{then} the conclusion would necessarily be true.

Ennek az érvnek a következtetése nevetséges. Ennek ellenére érvényesen következik a feltevésből. Ez egy érvényes érv. \emph{Ha} mindkét feltevés igaz lett volna, \emph{akkor} a következtetésnek is igaznak kellett volna lennie.

This shows that a deductively valid argument does not need to have true premises or a true conclusion. Conversely, having true premises and a true conclusion is not enough to make an argument valid. Consider this example:

Ez megmutatja, hogy a deduktívan érvényes érvnek nem kell, hogy legyen igaz feltevése vagy igaz következtetése. Ezzel szemben, ha vannak igaz feltevései és igaz következtetése az nem elég ahoz, hogy az érv érvényes legyen. Nézzük ezt a példát:

\begin{earg}
\item[] London is in England.
\item[] Beijing is in China.
\item[\therefore] Paris is in France.
\end{earg}

\begin{earg}
\item[] London Angliában van.
\item[] Peking Kínában van.
\item[\therefore] Párizs Franciaországban van.
\end{earg}

%SB fordítása vége

%RK fordítása kezdet

The premises and conclusion of this argument are, as a matter of fact, all true. This is a terrible argument, however, because the premises have nothing to do with the conclusion. Imagine what would happen if Paris declared independence from the rest of France. Then the conclusion would be false, even though the premises would both still be true. Thus, it is \emph{logically possible} for the premises of this argument to be true and the conclusion false. The argument is invalid.

A premisszák és a következtetés ebben az érvelésben, ami azt illeti, mind igazak. Azonban ez egy szörnyű érvelés, mivel a premisszáknak semmi köze nincs a következtetéshez. Képzeljük el, mi történne, ha Párizs kinyilvánítaná Franciaország többi részétől való függetlenségét. Ekkor a következtetés hamis lenne, annak ellenére, hogy mindkét premissza igaz. Eszerint \emph{logikailag lehetséges}, hogy ennek az érvelésnek a premisszái igazak és a következtetés hamis. Így az érvelés helytelen.

The important thing to remember is that validity is not about the actual truth or falsity of the sentences in the argument. Instead, it is about the form of the argument: The truth of the premises is incompatible with the falsity of the conclusion.

Fontos emlékeznünk rá tehát, hogy az érvényesség nem az érvelésben lévő mondatok tényleges igazságáról vagy hamisságáról szól. Ehelyett az érvelés formájáról szól: A premisszák igazsága összeférhetetlen a következtetés hamisságával.


%\begin{earg}
%\item Socrates is a man.
%\item All men are carrots.
%\item{\therefore} Therefore, Socrates is a carrot.
%\end{earg}


%\begin{earg}
%\item Abe Lincoln was either born in Illinois or he was once president.
%\item Abe Lincoln was never president.
%\item[\therefore] Abe Lincoln was born in Illinois.
%\end{earg}

%\begin{earg}
%\item Abe Lincoln was either from France or from Luxemborg.
%\item Abe Lincoln was not from Luxemborg.
%\item[\therefore] Abe Lincoln was from France.
%\end{earg}


%\begin{earg}
%\item If the world were to end today, then I would not need to get up tomorrow morning.
%\item I will need to get up tomorrow morning.
%\item[\therefore] The world will not end today.
%\end{earg}


\subsection*{Inductive arguments}

\subsection{Induktív érvelés}

There can be good arguments which nevertheless fail to be deductively valid. Consider this one:

Lehetnek jó érvelések, melyek deduktív levezetés alapján nem bizonyulnak helyesnek. Nézzük ezt a példát:

\begin{earg}
\item[] In January 1997, it rained in San Diego.
\item[] In January 1998, it rained in San Diego.
\item[] In January 1999, it rained in San Diego.
\item[\therefore] It rains every January in San Diego.
\end{earg}

\begin{earg}
\item[] 1997 januárjában esett az eső San Diegóban.
\item[] 1998 januárjában esett az eső San Diegóban.
\item[] 1999 januárjában esett az eső San Diegóban.
\item[\therefore] Januárban minden évben esik San Diegóban.
\end{earg}

This is an \define{inductive} argument, because it generalizes from many cases to a conclusion about all cases.

Ez egy \define{induktív} érvelés, mivel több esetből általánosít és levon egy következtetést az összes esetből.

Certainly, the argument could be made stronger by adding additional premises: In January 2000, it rained in San Diego. In January 2001$\ldots$ and so on. Regardless of how many premises we add, however, the argument will still not be deductively valid. It is possible, although unlikely, that it will fail to rain next January in San Diego. Moreover, we know that the weather can be fickle. No amount of evidence should convince us that it rains there \emph{every} January. Who is to say that some year will not be a freakish year in which there is no rain in January in San Diego; even a single counter-example is enough to make the conclusion of the argument false.

Minden bizonnyal az érvelés erősíthető azáltal, hogy hozzáadunk még premisszákat: 2000 januárjában esett az eső San Diegóban. 2001 januárjában$\ldots$ és így tovább. Attól függetlenül, hogy hány premisszát adunk hozzá, az érvelés még midig nem lesz deduktívan helyes. Lehetséges, habár valószínűtlen, hogy nem fog esni következő januárban San Diegóban. Ráadásul tudjuk, hogy az időjárás bizonylatan lehet. Semmilyen mennyiségű bizonyíték nem győzhet meg minket arról, hogy \emph{minden} januárban esik az eső. Senki nem mondhatja biztosra, hogy nem lesz egy olyan furcsa év, amikor nem fog esni januárban San Diegóban; egyetlen egy ellenpélda is elég ahhoz, hogy az érvelés következtetése hamis legyen.

Inductive arguments, even good inductive arguments, are not deductively valid. We will not be interested in inductive arguments in this book.

A induktív érvelések, még a jó induktív érvelések sem helyesek deduktívan. Ebben a könyvben nem foglalkozunk induktív érvelésekkel.

%RK fordítása vége 
%CsA fordítása kezdet

\section*{Other logical notions}
\section{Más logikai fogalmak}

In addition to deductive validity, we will be interested in some other logical concepts.

Kiegészítésként a levezetéses érvényesítéshez, más logikai koncepciókkal is foglalkozni fogunk.

\subsection*{Truth-values}
\subsection{Igazságértékek}
True or false is said to be the \define{truth-value} of a sentence. We defined sentences as things that could be true or false; we could have said instead that sentences are things that can have truth-values.

Az \define{Igazságértéke} egy állításnak igaz vagy hamis. Úgy határozunk meg állításokat, mint valami ami lehet igaz vagy hamis; ehelyett mondhatjuk azt, hogy az állítások olyan dolgok amiknek van igazságértékük.

\subsection*{Logical truth}
\subsection{Logiaki igazság}

In considering arguments formally, we care about what would be true \emph{if} the premises were true. Generally, we are not concerned with the actual truth value of any particular sentences--- whether they are \emph{actually} true or false. Yet there are some sentences that must be true, just as a matter of logic.

Amikor formálisan vizsgálunk egy érvelést, akkor azzal foglalkozunk, hogy mik lennének igazak \emph{ha} a tények igazak lennének, bármely állítás tényleges igazságértékével nem foglalkozunk--- akár igazak vagy hamisak. Viszont vannak olyan állítások amiknek igaznak kelle lenniük, logikailag.

Consider these sentences:
\begin{earg}
\item[\ex{Acontingent}] It is raining.
\item[\ex{Atautology}] Either it is raining, or it is not.
\item[\ex{Acontradiction}] It is both raining and not raining.
\end{earg}

Vizsgáljuk ezeket az állításokat:
\begin{earg}
\item[\ex{Acontingent}] Esik az eső.
\item[\ex{Atautology}] Vagy esik az eső vagy nem.
\item[\ex{Acontradiction}] Egyszerre esik az eső és nem is.
\end{earg}

In order to know if sentence \ref{Acontingent} is true, you would need to look outside or check the weather channel. Logically speaking, it might be either true or false. Sentences like this are called \emph{contingent} sentences.

Hogy megállapítsuk hogy az \ref{Acontingent}-es állítás igaz, ki kéne nézni az ablakon vagy ellenőrizni az időjárásjelentést. Logikailag mondva lehet, hogy igaz vagy hamis. Az ilyen állításokat \emph{bizonytalan} állításoknak nevezzük.
 
Sentence \ref{Atautology} is different. You do not need to look outside to know that it is true. Regardless of what the weather is like, it is either raining or not. This sentence is \emph{logically true}; it is true merely as a matter of logic, regardless of what the world is actually like. A logically true sentence is called a \define{tautology}.

A \ref{Atautology}-ik állítás különböző. Nem kell kinézni az ablakon ahhoz, hogy megbizonyosodjunk róla, hogy igaz-e. Eltekintve attól, hogy milyen idő van, vagy esik az eső vagy nem. Ez az állítás \emph{Logikailag igaz}; pusztán logikaliag igaz, függetlenül attól hogy ténylegesen milyen idő van kint. Egy logikailag igaz állítást \define{Tautológia}-nak nevezzük.

You do not need to check the weather to know about sentence \ref{Acontradiction}, either. It must be false, simply as a matter of logic. It might be raining here and not raining across town, it might be raining now but stop raining even as you read this, but it is impossible for it to be both raining and not raining here at this moment. The third sentence is \emph{logically false}; it is false regardless of what the world is like. A logically false sentence is called a \define{contradiction}.

Nem kell ellenőrizni akkor sem az időjárást ha a \ref{Acontradiction}-ik állítást vizsgálod. Hamisnak kell lennie, szimplán a logika miatt. Lehet, hogy itt esik viszont a város másik felén nem, lehet, hogy most esik viszont eláll az eső miközben ezt olvasod, viszont lehetetlen, hogy egy adott pillanatban, adott helyen egyszerre essen is az eső és nem. A harmadik állítás \emph{logikailag hamis};hamis, függetlenül attól, hogy milyen a világ. Egy logikailag hamis állítást \define{ellentmondás}-nak nevezzük.

To be precise, we can define a \define{contingent sentence} as a sentence that is neither a tautology nor a contradiction.

Hogy pontosak legyünk, meghatározhatunk egy \define{bizonytalan állítást} egy olyan állításként ami nem tautológikus és nem is ellentmondásos.

A sentence might \emph{always} be true and still be contingent. For instance, if there never were a time when the universe contained fewer than seven things, then the sentence `At least seven things exist' would always be true. Yet the sentence is contingent; its truth is not a matter of logic. There is no contradiction in considering a possible world in which there are fewer than seven things. The important question is whether the sentence \emph{must} be true, just on account of logic.

Egy állítás lehet \emph{mindig} igaz és mégis bizonytalan. Példának okáért, ha nem volt olyan időszak, amikor az univerzumban kevesebb mint hét dolog volt, akkor a `Legalább hét dolog létezik' állítás mindig igaz. Viszont az állítás bizonytalan; az igazsága nem a logikán alapszik. Nincs ellentmondás egy olyan világ vizsgálatában, ahol kevesebb mint hét dolog létezik. A fontos kérdés, hogy az állításnak igaznak \emph{kell-e} lennie, a logika miatt.

%CsA fordítása vége

%KP fordítása kezdet

\subsection{Logical equivalence}
We can also ask about the logical relations \emph{between} two sentences. For example:
\begin{earg}
\item[] John went to the store after he washed the dishes.
\item[] John washed the dishes before he went to the store.
\end{earg}
These two sentences are both contingent, since John might not have gone to the store or washed dishes at all. Yet they must have the same truth-value. If either of the sentences is true, then they both are; if either of the sentences is false, then they both are. When two sentences necessarily have the same truth value, we say that they are \define{logically equivalent}.

\subsection{Logikai ekvivalencia}
Kérdezhetünk a logikai relációkról két kijelentés\emph{között} . Például:
\begin{earg}
\item[] John elment a boltba miután elmosta az edényeket.
\item[] John elmosta az edényeket mielőtt elment a boltba.
\end{earg}
A két kijelentés kontingens, mivel lehet hogy John nem ment boltba vagy nem mosogatott edényeket. Mégis ugyanolyan igazságértékük kell legyen. Ha bármely kijelentés igaz, akkor mindkettő igaz; ha bármely kijelentés hamis, akkor mindkettő hamis. Amikor két kijelentésnek szükségszerűen azonos igazságértéke van, azt mondjuk, hogy \define{logikailag ekvivalensek}.

\subsection{Consistency}
Consider these two sentences:
\begin{ekey}
\item[B1] My only brother is taller than I am.
\item[B2] My only brother is shorter than I am.
\end{ekey}
Logic alone cannot tell us which, if either, of these sentences is true. Yet we can say that \emph{if} the first sentence (B1) is true, \emph{then} the second sentence (B2) must be false. And if B2 is true, then B1 must be false. It cannot be the case that both of these sentences are true.

\subsection{Konzisztencia}
Tekintsük ezt a két kijelentést:
\begin{ekey}
\item[B1] Az egyetlen testvérem magasabb mint én.
\item[B2] Az egyetlen testvérem alacsonyabb mint én.
\end{ekey}
A logika önmagában nem képes megmondani hogy ezekből a kijelentésekből mely igaz, ha valamelyik igaz. Mégis azt mondhatjuk, hogy \emph{ha} az első kijelentés (B1) igaz, \emph{akkor} a második kijelentés (B2) hamis kell legyen. És ha B2 igaz, akkor B1 muszáj hamis legyen. Lehetetlen, hogy mindkét kijelentés igaz.

If a set of sentences could not all be true at the same time, like B1--B2, they are said to be \define{inconsistent}. Otherwise, they are \define{consistent}.

Ha egy kijelentéskészlet nem lehet egyszerre igaz, mint például a B1--B22, akkor azt mondjuk, hogy \define{inkonzisztens}. Egyéb esetben \define{konzisztens}.

We can ask about the consistency of any number of sentences. For example, consider the following list of sentences:
\label{MartianGiraffes}
\begin{ekey}
\item[G1] There are at least four giraffes at the wild animal park.
\item[G2] There are exactly seven gorillas at the wild animal park.
\item[G3] There are not more than two martians at the wild animal park.
\item[G4] Every giraffe at the wild animal park is a martian.
\end{ekey}
G1 and G4 together imply that there are at least four martian giraffes at the park. This conflicts with G3, which implies that there are no more than two martian giraffes there. So the set of sentences G1--G4 is inconsistent. Notice that the inconsistency has nothing at all to do with G2. G2 just happens to be part of an inconsistent set.

Akárhány kijelentés konzisztenciáját megvizsgálhatjuk. Vegyük például a következő kijelentések listáját:
\label{MartianGiraffes}
\begin{ekey}
\item[G1] Legalább négy zsiráf van az állatkertben.
\item[G2] Pontosan hét gorilla van az állatkertben.
\item[G3] Az állatkertben legfeljebb két marslakó található.
\item[G4] Az állatkertben minden zsiráf marslakó.
\end{ekey}
G1 és G4 együtt azt jelenti, hogy legalább négy marslakó zsiráf van az állatkertben. Ez ellentmond G3-nak, ami szerint legfeljebb két marslakó zsiráf van itt. Tehát a G1--G4 kijelentéskészlet inkonzisztens. Vegyük észre, hogy az inkonzisztenciának semmi köze sincs a G2-hez. A G2 csak egy inkonzisztens halmaz része.

Sometimes, people will say that an inconsistent set of sentences ‘contains a contradiction.’ By this, they mean that it would be logically impossible for all of the sentences to be true at once. A set might be inconsistent even if each of the sentences in it is either contingent or tautologous. When a single sentence is a contradiction, then that sentence alone cannot be true.

Időnként az emberek azt szokták mondani az inkonzisztens kijelentéskészletre hogy „ellentmondást tartalmaz.” Ez azt jelenti, hogy logikailag lehetetlen lenne, hogy az összes kijelentés egyszerre igaz legyen. Egy kijelentéskészlet inkonzisztens lehet, még akkor is, ha a benne lévő kijelentések kontingensek vagy tautológiák. Ha egyetlen kijelentés ellentmondásos, akkor a kijelentés önmagában nem lehet igaz.


%KP fordítása vége

%UE fordítása kezdet

\section{Formal languages}

Here is a famous valid argument:
\begin{earg}
\item[] Socrates is a man.
\item[] All men are mortal.
\item[\therefore] Socrates is mortal.
\end{earg}
This is an iron-clad argument. The only way you could challenge the conclusion is by denying one of the premises--- the logical form is impeccable. What about this next argument?

Íme egy híres érvényes érvelés:

\begin{earg}
\item[] Szókratész egy ember.
\item[] Minden ember halandó.
\item[\therefore] Szókratész halandó.
\end{earg}

Ez egy betonkemény érvelés. \emph{Csak} az egyik alapvetés kétségbe vonásával vagy képes megcáfolni a konklúziót – a logikus formája kifogástalan. Mi a helyzet a következő érveléssel?

\begin{earg}
\item[] Socrates is a man.
\item[] All men are carrots.
\item[\therefore] Socrates is a carrot.
\end{earg}

This argument might be less interesting than the first, because the second premise is obviously false. There is no clear sense in which all men are carrots. Yet the argument is valid. To see this, notice that both arguments have this form:

\begin{earg}
\item[] Szókratész egy ember.
\item[] Minden ember répa.
\item[\therefore] Szókratész egy répa.
\end{earg}

Ez az érvelés talán kevésbé érdekes, mint az előző, mert a második alapvetés egyértelműen hamis. Nincs olyan tiszta felfogás, ami szerint minden ember répa. Mégis az érvelés érvényes. Hogy ez láthasd, fel kell ismerni, hogy mindkét érvelésnek a következő alakja van

\begin{earg}
\item[] $S$ is $M$.
\item[] All $M$s are $C$s.
\item[\therefore] $S$ is $C$.
\end{earg}

In both arguments $S$ stands for Socrates and $M$ stands for man. In the first argument, $C$ stands for mortal; in the second, $C$ stands for carrot. Both arguments have this form, and every argument of this form is valid. So both arguments are valid.

\begin{earg}
\item[] $S$ az $E$.
\item[] Minden $E$ $H$.
\item[\therefore] $S$ az $H$.
\end{earg}

Mindkét érvelésben az $S$ Szókratészt, a $E$ pedig embert jelképez. Az első érvelésben, $H$ halandót; a másodikban $H$ répát jelképez. Mindkét érvelésnek megvan ez az alakja, és minden érvelés ebben a formában érvényes.

%\subsection{Aristotelean logic}

What we did here was replace words like `man' or `carrot' with symbols like `M' or `C' so as to make the logical form explicit. This is the central idea behind formal logic. We want to remove irrelevant or distracting features of the argument to make the logical form more perspicuous.

Amit mi itt tettünk az az volt, hogy kicseréltünk szavakat, mint „ember” vagy „répa” olyan szimbólumokkal, mint M vagy C azért, hogy világossá tegyük a logikai alakot. Ez a központi ötlet a formális logika mögött. El akarjuk távolítani a lényegtelen, zavaró dolgokat, hogy a logikai formát még áttekinthetőbbé tegyük.

%UE fordítása vége

%KM fordítása kezdet

Starting with an argument in a \emph{natural language} like English, we translate the argument into a \emph{formal language}. Parts of the English sentences are replaced with letters and symbols. The goal is to reveal the formal structure of the argument, as we did with these two.

Ha veszünk egy kijelentés \emph{természetes nyelven} példál magyarul, átírjuk ezt \emph{formális nyelvre}. Az magyar mondat egy részét helyettesítjük betűkkel és szimbólumokkal. A cél, hogy megtaláljuk a formális megfelelőjét, ahogy tettük ezt az előző kettőnél.

There are formal languages that work like the symbolization we gave for these two arguments. A logic like this was developed by Aristotle, a philosopher who lived in Greece during the 4th century BC. Aristotle was a student of Plato and the tutor of Alexander the Great. Aristotle's logic, with some revisions, was the dominant logic in the western world for more than two millennia.

Vannak olyan formális nyelvek, amik olyan szimbolizmusban működnek, mint az előző két esetben. Ez a fajta logika Arisztotelésztől származik, egy görög filozófustól, aki az i.e. 4. században élt. Arisztotelész Plátó tanítványa volt és Nagy Sándor tanítója. Arisztotelész által lefektetett formalizmus, némi változatásokkal dominálta a nyugati világ logikáját több mint két évezredig.

In Aristotelean logic, categories are replaced with capital letters. Every sentence of an argument is then represented as having one of four forms, which medieval logicians labeled in this way: (A) All $A$s are $B$s. (E) No $A$s are $B$s. (I) Some $A$ is $B$. (O) Some $A$ is not $B$.

Az arisztotelészi logikában a kategóriákat nagy betűkkel helyettesítjük. Az érvelés minden mondata helyettesíthető a négy alábbi forma egyikével, amit a középkorban az alábbi módon jeöltek: (A) Minden $A$ $B$. (E) Nincsen $A$, ami $B$. (I) Néhány $A$ $B$.
(0) Néhány $A$ nem $B$.

It is then possible to describe valid \emph{syllogisms}, three-line arguments like the two we considered above. Medieval logicians gave mnemonic names to all of the valid argument forms. The form of our two arguments, for instance, was called \emph{Barbara}. The vowels in the name, all As, represent the fact that the two premises and the conclusion are all (A) form sentences.

Ez egy lehetséges módja egy érvényes szillogizmus leírásának, az olyan három-soros érveléseknek, mint a fenti kettőnek. A középkorban a logikával foglalkozók könnyebben megjegyezhető szavakat rendeltek az egyes érvényes érvelési formához. A mi két érvelésünk formáját például \emph{Barbarának} hívták. A magánhangzók a névben mindk A-k, ez reprezentálja a tényt, hogy a két premissza és a következtetés mind (A) formájú mondatok. 


There are many limitations to Aristotelean logic. One is that it makes no distinction between kinds and individuals. So the first premise might just as well be written `All $S$s are $M$s': All Socrateses are men. Despite its historical importance, Aristotelean logic has been superceded. The remainder of this book will develop two formal languages. 

Sok hátránya van az Arisztotelészi logikának. Egyik az, hogy nem tesz különbséget egyének és csoportok között. Tehát az első premisszát így is megfogalmazhattuk volna: „Minden $S$ $M$”: „Minden Szókrátészok emberek”. A történelmi jelentősége ellenére, az Arisztotelészi logikát másfajta logikával helyettesítették. A könyv hátralévő része ezeket tárgyalja.

The first is SL, which stands for \emph{sentential logic}. In SL, the smallest units are sentences themselves. Simple sentences are represented as letters and connected with {logical connectives} like and' andnot' to make more complex sentences.

Az első az úgynevezett \emph{kijelentéslogika} (sentiential logic) továbbiakban KL. Ebben a fajta logikában a legkisebb elemek maguk a mondatok (kijelentések). Az egyszerű mondatokat, amiket betűkkel jelölnek, logikai műveletek kötik össze, mint az $és$, és a $nem$, így képezhetőek bonyolultabb kijelentések.


The second is QL, which stands for \emph{quantified logic}. In QL, the basic units are objects, properties of objects, and relations between objects.

A másik az ún. \emph{predikátum logika} (quantified logic) továbbiakban PL. A legkisebb elemei az objektumok, ezek tulajdonságai, valamint a kapcsolat az objektumok között.




%\subsection{Why there are different formal languages}
When we translate an argument into a formal language, we hope to make its logical structure clearer. We want to include enough of the structure of the English language argument so that we can judge whether the argument is valid or invalid. If we included every feature of the English language, all of the subtlety and nuance, then there would be no advantage in translating to a formal language. We might as well think about the argument in English.

Ha átírunk egy érvet formális nyelvre, abban reménykedünk, hogy a logikai struktúrája tisztább lesz. Minél többet bele akarunk fogalalni a természetes nyelv struktúrájából, hogy el tudjuk dönteni, hogy az érvelés helyes, vagy helytelen. Ha a természetes nyelv minden jellenzőjével tisztában vagyunk, minden finomságával együtt, akkor nem lenne előnye a formális nyelv használatának. Ebben az esetben ugyan olyan jól tudánk az érvelést természetes nyelven tárgyalni.

At the same time, we would like a formal language that allows us to represent many kinds of English language arguments. This is one reason to prefer QL to Aristotelean logic; QL can represent every valid argument of Aristotelean logic and more.

 
Egyúttal szeretnénk, hogy a formális nyelv tegyen lehetővé sokféle természetes nyelvű érvelést. Ezért elterjettebb a predikátum logika, mint az Arisztotelészi logika; PL az Arisztotelészi logika minden lehetséges érvét le tudja írni és még annál többet.

%KM fordítása vége

%CsB fordítása kezdet

So when deciding on a formal language, there is inevitably a tension between wanting to capture as much structure as possible and wanting a simple formal language--- simpler formal languages leave out more. This means that there is no perfect formal language. Some will do a better job than others in translating particular English-language arguments.

Tehát, amikor a formális nyelvről döntünk, elkerülhetetlenül feszültség merül fel a lehető legtöbb struktúra megragadása és az egyszerű formális nyelv igénye között -- az egyszerűbb formális nyelvek kevésbé pontosak. Ez azt jelenti, hogy nincs tökéletes formális nyelv. Egyesek jobban teljesítenek, mint mások a magyar nyelvű érvek fordításában.

In this book, we make the assumption that \emph{true} and \emph{false} are the only possible truth-values. Logical languages that make this assumption are called \emph{bivalent}, which means \emph{two-valued}. Aristotelean logic, SL, and QL are all bivalent, but there are limits to the power of bivalent logic. For instance, some philosophers have claimed that the future is not yet determined. If they are right, then sentences about \emph{what will be the case} are not yet true or false.

Ebben a könyvben azt feltételezzük, hogy az \emph{igaz} és \emph{hamis} az egyetlen lehetséges igazságérték. Ezt a feltételezést használó logikai nyelveket \emph{bivalensnek} nevezzük, ami azt jelenti, \emph{kétértékű}. Az arisztotelészi logika, az SL és a QL mind bivalensek, de a bivalens logika kapacitásának vannak korlátai. Például néhány filozófus azt állította, hogy a jövő még nincs meghatározva. Ha igazuk van, akkor a mondatok arról, hogy \emph{mi lesz a helyzet}, még nem igazak vagy hamisak. 

Some formal languages accommodate this by allowing for sentences that are neither true nor false, but something in between.
Other formal languages, so-called paraconsistent logics, allow for sentences that are both true \emph{and} false.

Egyes formális nyelvek áthidalják ezt a problémát azáltal, hogy megengednek olyan mondatokat, amelyek se nem igazak, se nem hamisak, de valami a kettő között. 
Más formális nyelvek, az úgynevezett parakonzisztens logikájúak, lehetővé teszik az igaz \emph{és} hamis mondatokat is.

The languages presented in this book are not the only possible formal languages. However, most nonstandard logics extend on the basic formal structure of the bivalent logics discussed in this book. So this is a good place to start.

E könyvben bemutatott nyelvek nem az egyedüli lehetséges formális nyelvek. Azonban az ebben a könyvben tárgyalt bivalens logika alapstruktúráját terjeszti ki a legtöbb nem szabványos logika. Ez egy jó kiindulási pont.

\section*{Summary of logical notions}
\section*{A logikai fogalmak összefoglalása}
\begin{itemize}
\item An argument is (deductively) \define{valid} if it is impossible for the premises to be true and the conclusion false; it is \define{invalid} otherwise.
\item Egy érv (deduktív módon) akkor \define{érvényes}, ha lehetetlen, hogy az előfeltevés igaz legyen, és ugyanakkor a következtetés hamis; egyébként \define{érvénytelen}. 
\item A \define{tautology} is a sentence that must be true, as a matter of logic.
\item A \define{tautológia} olyan mondat, amelynek logikailag igaznak kell lennie.
\item A \define{contradiction} is a sentence that must be false, as a matter of logic.
\item Az \define{ellentmondás} vagy \define{kontradikció} egy mondat, amelynek logikailag  hamisnak kell lennie. 
\item A \define{contingent sentence} is neither a tautology nor a contradiction.
\item A \define{kontingens mondat} se nem tautológia, se nem ellentmondás.
\item Two sentences are \define{logically equivalent} if they necessarily have the same truth value.
\item Két mondat \define{logikailag ekvivalens}, hogyha szükségszerűen ugyanaz az igazságértékük. 
\item A set of sentences is \define{consistent} if it is logically possible for all the members of the set to be true at the same time; it is \define{inconsistent} otherwise.
\item Egy mondatkészlet \define{konzisztens}, ha logikusan lehetséges, hogy a halmaz összes tagja egyszerre igaz legyen; egyébként \define{összeegyeztethetetlenek} (\define{inkonzisztensek}).
\end{itemize}

%CsB fordítása vége


%PÁ fordítása kezdete

\practiceproblems
At the end of each chapter, you will find a series of practice problems that review and explore the material covered in the chapter. There is no substitute for actually working through some problems, because logic is more about a way of thinking than it is about memorizing facts. The answers to some of the problems are provided at the end of the book in appendix \ref{app.solutions}; the problems that are solved in the appendix are marked with a \solutions.

\practiceproblems
Az egyes fejezetek végén talál néhány gyakorlati problémát, amelyek átismétlik a fejezetben tárgyalt anyagot. Nem helyettesítheti bizonyos problémák tényleges kezelését, mivel a logika inkább a gondolkodásmódról szól, mint a tények memorizálásáról. Néhány problémára a könyv végén, a \ref{app.solutions} függelékben találunk választ; a függelékben megoldandó problémákat \solutions jelöli.

\problempart
Which of the following are `sentences' in the logical sense?
\begin{earg}
\item England is smaller than China.
\item Greenland is south of Jerusalem.
\item Is New Jersey east of Wisconsin?
\item The atomic number of helium is 2.
\item The atomic number of helium is $\pi$.
\item I hate overcooked noodles.
\item Blech! Overcooked noodles!
\item Overcooked noodles are disgusting.
\item Take your time.
\item This is the last question.
\end{earg}

\problempart
A következő példák közül melyek a logikai értelemben vett „mondatok”?
\begin{earg}
\item Anglia kisebb, mint Kína.
\item Grönland Jeruzsálemtől délre található.
\item New Jersey Wisconsintól keletre fekszik?
\item A hélium atomszáma 2.
\item A hélium atomszáma $\pi$.
\item Utálom a túlfőtt tésztát.
\item Fúj! Túlfőtt tészta!
\item A túlfőtt tészta undorító.
\item Szánjon rá időt.
\item Ez az utolsó kérdés.
\end{earg}

\problempart
\label{pr.EnglishTautology}
For each of the following: Is it a tautology, a contradiction, or a contingent sentence?
\begin{earg}
\item Caesar crossed the Rubicon.
\item Someone once crossed the Rubicon.
\item No one has ever crossed the Rubicon.
\item If Caesar crossed the Rubicon, then someone has.
\item Even though Caesar crossed the Rubicon, no one has ever crossed the Rubicon.
\item If anyone has ever crossed the Rubicon, it was Caesar.
\end{earg}

\problempart
\label{pr.EnglishTautology}
Az alábbiak közül melyik: tautológia, ellentmondás, vagy kontingens mondat?
\begin{earg}
\item Caesar átlépte a Rubicont.
\item Valaki egyszer átlépte a Rubicont.
\item Soha, senki nem lépte át a Rubcont.
\item Ha Caesar átlépte a Rubicont, akkor van aki átlépte.
\item Bár Caesar átlépte a Rubicont, senki sem lépte át.
\item Ha valaki átlépte a Rubicont, akkor Caesar volt.
\end{earg}

\solutions
\problempart
\label{pr.MartianGiraffes}
Look back at the sentences G1--G4 on p.~\pageref{MartianGiraffes}, and consider each of the following sets of sentences. Which are consistent? Which are inconsistent?
\begin{earg}
\item G2, G3, and G4
\item G1, G3, and G4
\item G1, G2, and G4
\item G1, G2, and G3
\end{earg}

\solutions
\problempart
\label{pr.MartianGiraffes}
Tekintsen vissza a G1--G4 mondatokra a ~\pageref{MartianGiraffes} oldalon, és nézze meg az alábbi mondatkészleteket. Melyek mondatok konzisztensek? Melyek ellentmondóak?
\begin{earg}
\item G2, G3, és G4
\item G1, G3, és G4
\item G1, G2, és G4
\item G1, G2, és G3
\end{earg}


\solutions
\problempart
\label{pr.EnglishCombinations}
Which of the following is possible? If it is possible, give an example. If it is not possible, explain why.
\begin{earg}
\item A valid argument that has one false premise and one true premise
\item A valid argument that has a false conclusion
\item A valid argument, the conclusion of which is a contradiction
\item An invalid argument, the conclusion of which is a tautology
\item A tautology that is contingent
\item Two logically equivalent sentences, both of which are tautologies
\item Two logically equivalent sentences, one of which is a tautology and one of which is contingent
\item Two logically equivalent sentences that together are an inconsistent set
\item A consistent set of sentences that contains a contradiction
\item An inconsistent set of sentences that contains a tautology
\end{earg}

\solutions
\problempart
\label{pr.EnglishCombinations}
Az alábbiak közül melyik lehetséges? Ha lehetséges, adjon meg hozzá egy példát. Ha nem lehetséges, magyarázza meg miért nem.
\begin{earg}
\item Érvényes érv, amelynek egyetlen hamis és egy igaz előfeltevése van
\item Érvényes érv, amelynek hamis következtetése van
\item Érvényes érv, amelynek következtetése ellentmondásos
\item Érvénytelen érv, amelynek következtetése tautológia
\item Egy feltételes tautológia
\item Két logikailag ekvivalens mondat, melyek egyaránt tautológiák
\item Két logikailag ekvivalens mondat, melyek közül az egyik tautológia, a másik pedig kontingens
\item Két logikailag ekvivalens mondat, melyek együttesen inkonzisztens halmazt képeznek
\item Konzisztens mondatkészlet, amely ellentmondást tartalmaz
\item Nem ellentmondó mondatkészlet, amely tautológiát tartalmaz
\end{earg}

%PÁ fordítása vége