整数拆分--.py

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给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。 返回你可以获得的最大乘积。

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。
示例 2:

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。
说明: 你可以假设 n 不小于 2 且不大于 58。
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1 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
   dp[i]：分拆数字i，可以得到的最大乘积为dp[i]。

    dp[i]的定义讲贯彻整个解题过程，下面哪一步想不懂了，就想想dp[i]究竟表示的是啥！

2 确定递推公式
      可以想 dp[i]最大乘积是怎么得到的呢？
      (j <i)
      其实可以从1遍历j，然后有两种渠道得到dp[i].

        一个是j * (i - j) 直接相乘。

       一个是j * dp[i - j]，相当于是拆分(i - j)，对这个拆分不理解的话，可以回想dp数组的定义。

    所以递推公式：dp[i] = max({dp[i], (i - j) * j, dp[i - j] * j});
    
    那么在取最大值的时候，为什么还要比较dp[i]呢？
    
    因为在递推公式推导的过程中，每次计算dp[i]，取最大的而已。

3 dp的初始化
    不少同学应该疑惑，dp[0] dp[1]应该初始化多少呢？
    
    有的题解里会给出dp[0] = 1，dp[1] = 1的初始化，但解释比较牵强，主要还是因为这么初始化可以把题目过了。
    
    严格从dp[i]的定义来说，dp[0] dp[1] 就不应该初始化，也就是没有意义的数值。
    
    拆分0和拆分1的最大乘积是多少？
    
    这是无解的。
    
    这里我只初始化dp[2] = 1，从dp[i]的定义来说，拆分数字2，得到的最大乘积是1，这个没有任何异议！

4 确定遍历顺序
    确定遍历顺序，先来看看递归公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
    
    dp[i] 是依靠 dp[i - j]的状态，所以遍历i一定是从前向后遍历，先有dp[i - j]再有dp[i]。
    
    枚举j的时候，是从1开始的。i是从3开始，这样dp[i - j]就是dp[2]正好可以通过我们初始化的数值求出来。
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def integerBreak(n):
    dp = [0] * (n + 1)
    dp[2] = 1
    for i in range(3, n + 1):
        # 假设对正整数 i 拆分出的第一个正整数是 j（1 <= j < i），则有以下两种方案：
        # 1) 将 i 拆分成 j 和 i−j 的和，且 i−j 不再拆分成多个正整数，此时的乘积是 j * (i-j)
        # 2) 将 i 拆分成 j 和 i−j 的和，且 i−j 继续拆分成多个正整数，此时的乘积是 j * dp[i-j]
        for j in range(1, i - 1):
            dp[i] = max(dp[i], max(j * (i - j), j * dp[i - j]))
    return dp[n]