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4.median-of-two-sorted-array.md

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题目地址(4. 寻找两个正序数组的中位数)

https://leetcode.com/problems/median-of-two-sorted-arrays/

题目描述

给定两个大小为 m 和 n 的正序（从小到大）数组 nums1 和 nums2。

请你找出这两个正序数组的中位数，并且要求算法的时间复杂度为 O(log(m + n))。

你可以假设 nums1 和 nums2 不会同时为空。

 

示例 1:

nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]

则中位数是 2.0
示例 2:

nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]

则中位数是 (2 + 3)/2 = 2.5

前置知识

  • 中位数
  • 分治法
  • 二分查找

思路

首先了解一下 Median 的概念，一个数组中 median 就是把数组分成左右等分的中位数。

如下图： image.png

这道题，很容易想到暴力解法，时间复杂度和空间复杂度都是O(m+n), 不符合题中给出O(log(m+n))时间复杂度的要求。 我们可以从简单的解法入手，试了一下，暴力解法也是可以被 Leetcode Accept 的. 分析中会给出两种解法，暴力求解和二分解法。

解法一 - 暴力 （Brute Force）

暴力解主要是要 merge 两个排序的数组（A，B）成一个排序的数组。

用两个pointer（i，j），i 从数组A起始位置开始，即i=0开始，j 从数组B起始位置， 即j=0开始. 一一比较 A[i] 和 B[j],

  1. 如果A[i] <= B[j], 则把A[i] 放入新的数组中，i 往后移一位，即 i+1.
  2. 如果A[i] > B[j], 则把B[j] 放入新的数组中，j 往后移一位，即 j+1.
  3. 重复步骤#1 和 #2，直到i移到A最后，或者j移到B最后。
  4. 如果j移动到B数组最后，那么直接把剩下的所有A依次放入新的数组中.
  5. 如果i移动到A数组最后，那么直接把剩下的所有B依次放入新的数组中.

Merge 的过程如下图。 image.png

时间复杂度： O(m+n) - m is length of A, n is length of B

空间复杂度： O(m+n)

解法二 - 二分查找 （Binary Search）

由于题中给出的数组都是排好序的，在排好序的数组中查找很容易想到可以用二分查找（Binary Search), 这里对数组长度小的做二分， 保证数组 A 和 数组 B 做 partition 之后

len(Aleft)+len(Bleft)=(m+n+1)/2 - m是数组A的长度， n是数组B的长度

对数组 A 的做 partition 的位置是区间[0,m]

如图： image.png

下图给出几种不同情况的例子（注意但左边或者右边没有元素的时候，左边用INF_MIN，右边用INF_MAX表示左右的元素： image.png

下图给出具体做的 partition 解题的例子步骤， image.png

时间复杂度： O(log(min(m, n)) - m is length of A, n is length of B

空间复杂度： O(1) - 这里没有用额外的空间

关键点分析

  1. 暴力求解，在线性时间内 merge 两个排好序的数组成一个数组。
  2. 二分查找，关键点在于

  • 要 partition 两个排好序的数组成左右两等份，partition 需要满足len(Aleft)+len(Bleft)=(m+n+1)/2 - m是数组A的长度， n是数组B的长度

  • 并且 partition 后 A 左边最大(maxLeftA), A 右边最小（minRightA), B 左边最大（maxLeftB), B 右边最小（minRightB) 满足 (maxLeftA <= minRightB && maxLeftB <= minRightA)

有了这两个条件，那么 median 就在这四个数中，根据奇数或者是偶数，

奇数：
median = max(maxLeftA, maxLeftB)
偶数：
median = (max(maxLeftA, maxLeftB) + min(minRightA, minRightB)) / 2

代码

代码支持： Java，JS：

Java Code：

解法一 - 暴力解法（Brute force）

class MedianTwoSortedArrayBruteForce {
    public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
      int[] newArr = mergeTwoSortedArray(nums1, nums2);
      int n = newArr.length;
      if (n % 2 == 0) {
        // even
        return (double) (newArr[n / 2] + newArr[n / 2 - 1]) / 2;
      } else {
        // odd
        return (double) newArr[n / 2];
      }
    }
    private int[] mergeTwoSortedArray(int[] nums1, int[] nums2) {
      int m = nums1.length;
      int n = nums2.length;
      int[] res = new int[m + n];
      int i = 0;
      int j = 0;
      int idx = 0;
      while (i < m && j < n) {
        if (nums1[i] <= nums2[j]) {
          res[idx++] = nums1[i++];
        } else {
          res[idx++] = nums2[j++];
        }
      }
      while (i < m) {
        res[idx++] = nums1[i++];
      }
      while (j < n) {
        res[idx++] = nums2[j++];
      }
      return res;
    }
}
/**
 * @param {number[]} nums1
 * @param {number[]} nums2
 * @return {number}
 */
var findMedianSortedArrays = function (nums1, nums2) {
  // 归并排序
  const merged = [];
  let i = 0;
  let j = 0;
  while (i < nums1.length && j < nums2.length) {
    if (nums1[i] < nums2[j]) {
      merged.push(nums1[i++]);
    } else {
      merged.push(nums2[j++]);
    }
  }
  while (i < nums1.length) {
    merged.push(nums1[i++]);
  }
  while (j < nums2.length) {
    merged.push(nums2[j++]);
  }

  const { length } = merged;
  return length % 2 === 1
    ? merged[Math.floor(length / 2)]
    : (merged[length / 2] + merged[length / 2 - 1]) / 2;
};

复杂度分析

  • 时间复杂度：$O(max(m, n))$
  • 空间复杂度：$O(m + n)$

解法二 - 二分查找（Binary Search)

/**
 * 二分解法
 * @param {number[]} nums1
 * @param {number[]} nums2
 * @return {number}
 */
var findMedianSortedArrays = function (nums1, nums2) {
  // make sure to do binary search for shorten array
  if (nums1.length > nums2.length) {
    [nums1, nums2] = [nums2, nums1];
  }
  const m = nums1.length;
  const n = nums2.length;
  let low = 0;
  let high = m;
  while (low <= high) {
    const i = low + Math.floor((high - low) / 2);
    const j = Math.floor((m + n + 1) / 2) - i;

    const maxLeftA = i === 0 ? -Infinity : nums1[i - 1];
    const minRightA = i === m ? Infinity : nums1[i];
    const maxLeftB = j === 0 ? -Infinity : nums2[j - 1];
    const minRightB = j === n ? Infinity : nums2[j];

    if (maxLeftA <= minRightB && minRightA >= maxLeftB) {
      return (m + n) % 2 === 1
        ? Math.max(maxLeftA, maxLeftB)
        : (Math.max(maxLeftA, maxLeftB) + Math.min(minRightA, minRightB)) / 2;
    } else if (maxLeftA > minRightB) {
      high = i - 1;
    } else {
      low = low + 1;
    }
  }
};
class MedianSortedTwoArrayBinarySearch {
  public static double findMedianSortedArraysBinarySearch(int[] nums1, int[] nums2) {
     // do binary search for shorter length array, make sure time complexity log(min(m,n)).
     if (nums1.length > nums2.length) {
        return findMedianSortedArraysBinarySearch(nums2, nums1);
      }
      int m = nums1.length;
      int n = nums2.length;
      int lo = 0;
      int hi = m;
      while (lo <= hi) {
        // partition A position i
        int i = lo + (hi - lo) / 2;
        // partition B position j
        int j = (m + n + 1) / 2 - i;

        int maxLeftA = i == 0 ? Integer.MIN_VALUE : nums1[i - 1];
        int minRightA = i == m ? Integer.MAX_VALUE : nums1[i];

        int maxLeftB = j == 0 ? Integer.MIN_VALUE : nums2[j - 1];
        int minRightB = j == n ? Integer.MAX_VALUE : nums2[j];

        if (maxLeftA <= minRightB && maxLeftB <= minRightA) {
          // total length is even
          if ((m + n) % 2 == 0) {
            return (double) (Math.max(maxLeftA, maxLeftB) + Math.min(minRightA, minRightB)) / 2;
          } else {
            // total length is odd
            return (double) Math.max(maxLeftA, maxLeftB);
          }
        } else if (maxLeftA > minRightB) {
          // binary search left half
          hi = i - 1;
        } else {
          // binary search right half
          lo = i + 1;
        }
      }
      return 0.0;
    }
}

复杂度分析

  • 时间复杂度：$O(log(min(m, n)))$
  • 空间复杂度：$O(log(min(m, n)))$

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