[A/L] (2021/22) Relazioni - Esercizio 12

[matypist]

[Elia-Belli]

$R \cap R^{-1} \subseteq D_A$ vuol dire che gli unici elementi in comune tra $R$ e $R^{-1}$ sono le coppie del tipo $(a,a)$.

Per assurdo supponiamo che $R$ non sia antisimmetrica:
Quindi possono esistere $aRb$ e $bRa$, con $a\not= b$, allora sicuramente $bR^{-1}a$ e $aR^{-1}b$, quindi l'intersezione contiene anche $(a,b)$ e $(b,a)$ che non sono elementi $\in D_A$, è violata quindi l'ipotesi.

Concludiamo che se $R \cap R^{-1} \subseteq D_A$ allora $R$ è necessariamente antisimmetrica. $Q.E.D.$