[A/L] (2021/22) Induzione - Esercizio 11

[matypist]

[Exyss]

[Elia-Belli]

Nella soluzione di @Exyss alla seconda riga del Passo Induttivo PI c'è un errore, nel portare fuori il termine n+1esimo dalla sommatoria ha dimenticato di elevare il denominatore alla seconda: $\frac{1}{n+1}$ anzichè $\frac{1}{(n+1)^2}$.

Dimostrazione per Induzione

• Caso Base: $n=2$ , $1+1/4 < 2-1/2 \rightarrow 5/4<3/2$;
• Passo induttivo: $n \geq 2$ , $P(n) \Rightarrow P(n+1)$:
  $P(n+1) = \sum\limits_{i=1}^{n+1}{\frac{1}{i^2}} < 2 - \frac{1}{n+1} \rightarrow \sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{1}{i^2}} + \frac{1}{(n+1)^2}< 2 - \frac{1}{n+1}$, applichiamo l'ipotesi induttiva $\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{1}{i^2}} < 2 - \frac{1}{n}$
  otteniamo $\sum\limits_{i=1}^{n+1}{\frac{1}{i^2}} +\frac{1}{(n+1)^2}< 2 - \frac{1}{n} + \frac{1}{(n+1)^2}$ , quindi ci basta mostrare che $2 - \frac{1}{n} + \frac{1}{(n+1)^2} < 2 - \frac{1}{n+1}$.
  $-\frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} + \frac{1}{(n+1)^2} < 0$ , facendo l'mcm e sviluppando i termini si ottiene $\frac{-1}{n(n+1)^2} <0$ che è ovviamente vera. $Q.E.D.$