[M-Z] (10 Febbraio 2020) Esercizio 6

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Traccia

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Vero, $x+y$ è una relazione di equivalenza. Ciò è dovuto al fatto che per ottenere un numero basta sommare due qualsiasi numeri pari o due qualsiasi numeri dispari. Questa proprietà si verifica grazie alle seguenti caratteristiche:

• Riflessiva: la somma di un numero con se stesso è sempre pari, poiché $x+x = 2x$.
• Simmetrica: la somma di due numeri è commutativa, quindi $x+y = y+x$. Di conseguenza, se $x+y$ è pari, lo è anche $y+x$.
• Transitiva: se sia $x+y$ che $y+z$ sono pari, allora $x$, $y$ e $z$ sono tutti pari o tutti dispari. Pertanto, anche $x+z$ è pari.

Le classi di equivalenza sono due, ovvero la classe dei numeri pari e la classe dei numeri dispari. Ciò è dovuto al fatto che:

• Tutti i numeri pari sono in relazione tra loro e non sono mai in relazione con un numero dispari.
• Tutti i numeri dispari sono in relazione tra loro e non sono mai in relazione con un numero pari.

Quindi l'insieme quoziente è Q = {[1], [2]}, dove [1] rappresenta la classe di equivalenza dei numeri dispari e [2] quella dei numeri pari.