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docs/README.md

@@ -0,0 +1,47 @@
+# Signals-and-Systems
+
+Some notes about Signals and Systems.
+
+2020年上半年学习这门课程时的笔记，前后陆陆续续发布在CSDN，具体可以查看我的CSDN专栏：[【信号与系统】](https://blog.csdn.net/qq_43328313/category_9785559.html)
+
+2022年初将笔记的源 `md` 文件上传至 **github**，欢迎star！
+
+2024年使用Docsify搭建了一个静态网站，可以在线阅读：[https://axyzdong.github.io/Signals-and-Systems/](https://axyzdong.github.io/Signals-and-Systems/)
+
+## Introduction
+
+包含【笔记】【测验题】【实验题】，可配合西安电子科技大学郭宝龙老师的视频使用（B站搜索信号与系统郭宝龙老师）。
+
+
+## Buy Me a Coffee
+如果你觉得本项目帮助到了你，你可以帮作者买一杯果汁表示鼓励🍹 ~~~
+
+<img src="https://cdn.buymeacoffee.com/buttons/default-orange.png" alt="Buy Me A Coffee" height="41" width="174"> 
+
+ **WeChat Pay / Alipay**
+
+ <img src="images/Pay.png" width = "500" alt="pay" align=center />
+
+## Contact me
+
+CSDN：https://axyzdong.blog.csdn.net/
+
+Email：[email protected]
+
+
+## LICENSE
+<a rel="license" href="http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/"><img alt="知识共享许可协议" style="border-width:0" src="https://img.shields.io/badge/license-CC%20BY--NC--SA%204.0-lightgrey" /></a><br />本作品采用<a rel="license" href="http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/">知识共享署名-非商业性使用-相同方式共享 4.0 国际许可协议</a>进行许可。
+
+
+## Star History
+
+[![Star History Chart](https://api.star-history.com/svg?repos=AXYZdong/Signals-and-Systems&type=Date)](https://star-history.com/#AXYZdong/Signals-and-Systems&Date)
+
+
+<!---## Stargazers over time--->
+
+<!---[![Stargazers over time](https://starchart.cc/AXYZdong/Signals-and-Systems.svg)](https://starchart.cc/AXYZdong/Signals-and-Systems)--->
+
+
+
+

docs/_sidebar.md

@@ -0,0 +1,26 @@
+* 目录
+    * [第 1 章 绪论](ch1/ch1.md)
+    * [第 2 章 时域分析](ch2/ch2.md)
+    * 第 3 章 频域分析
+        * [3.1 信号的正交分解与傅里叶级数](ch3/ch3.1.md)
+        * [3.2 信号的频谱与傅里叶变换（一图看懂傅里叶变换）](ch3/ch3.2.md)
+        * [3.3 傅里叶变换的性质与周期信号的傅立叶变换](ch3/ch3.3.md)
+        * [3.4 系统的频域分析与取样定理](ch3/ch3.4.md)
+    * 第 4 章 复频域域分析
+        * [4.1 拉普拉斯变换](ch4/ch4.1.md)
+        * [4.2 拉普拉斯变换的性质](ch4/ch4.2.md)
+        * [4.3 拉普拉斯逆变换](ch4/ch4.3.md)
+        * [4.4 复频域分析](ch4/ch4.4.md)
+    * 第 5 章 Z 域分析
+        * [5.1 Z 变换](ch5/ch5.1.md)
+        * [5.2 Z 变换的性质](ch5/ch5.2.md)
+        * [5.3 逆 Z 变换](ch5/ch5.3.md)
+        * [5.4 Z 域分析](ch5/ch5.4.md)
+    * 实验
+        * [实验1 常用信号的分析与基本运算](experiment/exp1.md)
+        * [实验2 Multisim 仿真信号合成与分解](experiment/exp2.md)
+        * [实验3 Multisim 仿真连续时间系统的时域分析](experiment/exp3.md)
+        * [实验4 Multisim 仿真抽样定理与信号恢复](experiment/exp4.md)
+    * 测试
+        * [测试1 系统复频域小测验](test/test1.md)
+        * [测试2 Z 域分析小测验](test/test2.md)

docs/ch1/ch1.md

@@ -0,0 +1,234 @@
+>Author：AXYZdong
+>自动化专业 工科男
+>有一点思考，有一点想法，有一点理性！
+
+@[TOC]
+# 一、信号
+## 1、概念
+信号：物质的运动形式或状态的变化。
+表示：信号常用时间函数（或序列）表示。该函数的图像称为信号的波形。
+## 2、分类
+|分类标准|信号类别|
+|--|--|
+|以自变量取值分类|连续信号、离散信号|
+|以信号的起始时刻分类|因果信号、非因果信号|
+|以$f(t)$取值分类|周期信号、非周期信号|
+|以确立与随机分类|确定信号、随机信号|
+|以$f(t)$为实函数或复函数分类|实信号、复信号|
+|以能量是否有限分类|能量有限信号、能量无限信号|
+## 3、周期信号和非周期信号
+### 3.1、基本概念
+周期信号（period signal）是定义在 (-$\infty$,+$\infty$)区间，每隔一定时间$T$(或整数$N$),按相同规律重复变化的信号。
+
+连续周期信号$f(t)$满足：
+$f(t)=f(t+mT),m=0,\pm1,\pm2,...$
+
+离散周期信号$f(k)$满足：
+$f(k)=f(k+mN),m=0,\pm1,\pm2,...$
+
+满足上述关系的最小$T$（或整数$N$）称为该信号的周期。不具有周期性的信号称为非周期信号。
+### 3.2、周期$T$求法
+举两个例子，通过例子来说明具体求法。
+<strong>（1）$f_1(t)=\sin2t + \cos3t$        （2）$f_2(t)=\cos2t + \sin \pi t$
+
+解：<font color=red> 两个周期信号$x(t),y(t)$的周期分别为$T_1,T_2$,若其周期之比$\frac{T_1}{T_2}$为有理数，则其和信号$x(t)+y(t)$仍然是周期信号，其周期为$T_1$和$T_2$的最小公倍数。</font>
+
+（1）$\sin2t,T_1=\frac{2\pi}{2}=\pi$ 
+
+&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;$\cos3t,T_2=\frac{2\pi}{3}$
+
+&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;$\frac{T_1}{T_2}=\frac{3}{ 2}$为有理数，$f_1(t)$为周期信号，周期$2\pi$
+
+（2）$\cos2t,T_1=\frac{2\pi}{2}=\pi$ 
+
+&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;$\sin \pi t,T_2=\frac{2\pi}{\pi}=2$
+
+&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;$\frac{T_1}{T_2}=\frac{\pi}{ 2}$为无理数，$f_2(t)$为非周期信号
+
+<strong>总结：①连续的正弦信号一定是周期信号
+&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;②正弦序列不一定是周期序列
+&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;③ 两连续周期信号之和不一定是周期信号
+&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;④两周期序列之和一定是周期序列
+# 二、系统
+## 1、概念
+系统（system）：由若干个相互联系、相互作用的单元组成的具有一定功能的整体。
+例：收音机系统
+
+![在这里插入图片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/202003081659002.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQzMzI4MzEz,size_16,color_FFFFFF,t_70#pic_center)
+表示：图示、方程（微分方程、差分方程）。
+## 2、分类
+按系统处理信号的形式分类
+
+![在这里插入图片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/20200308170155528.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQzMzI4MzEz,size_16,color_FFFFFF,t_70#pic_center)
+## 3、线性系统
+### 3.1概念
+线性(linearity property)：均匀性、叠加性。
+线性系统：指具有线性特性的系统
+系统的线性特性：
+&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;$\underrightarrow{f_1(t)}$ $H$ $\underrightarrow{y_1(t)}$
+
+&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;$\underrightarrow{f_2(t)}$ $H$ $\underrightarrow{y_2(t)}$
+
+&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;$\underrightarrow{\alpha _1f_1(t)+\alpha _2f_2(t)}$ $H$ $\underrightarrow{\alpha _1y_1(t)+\alpha _2y_2(t)}$
+### 3.2线性系统的判断方法
+<font color=red> 先线性运算，再经系统 = 先经系统，再线性运算</font>
+
+$$
+        \left.
+        \begin{array}{l}
+        \text{$\underrightarrow{f_1(t)}$ $C_1$ $\underrightarrow{C_1f_1(t)}$}\\
+        \text{$\underrightarrow{f_2(t)}$ $C_2$ $\underrightarrow{C_2f_2(t)}$} 
+        \end{array}
+        \right\}
+        \to C_1f_1(t)+C_2f_2(t)  
+        \to	H	
+        \to	H	\lbrace	C_1f_1(t)+C_2f_2(t)	\rbrace
+$$
+$$
+        \left.
+        \begin{array}{l}
+        \text{$\underrightarrow{f_1(t)}$ $H$ $\underrightarrow{	H	\lbrace f_1(t)		\rbrace }$}\\
+        \text{$\underrightarrow{f_2(t)}$ $H$ $\underrightarrow{	H	\lbrace f_2(t)		\rbrace}$} 
+        \end{array}
+        \right\}
+        \to H	\lbrace f_1(t)		\rbrace+H	\lbrace f_2(t)		\rbrace  
+        \to	C
+        \to 	C_1H	\lbrace f_1(t)		\rbrace	+	C_2H	\lbrace f_2(t)		\rbrace  
+$$
+若$H	\lbrace	C_1f_1(t)+C_2f_2(t)	\rbrace = C_1H	\lbrace f_1(t)		\rbrace	+	C_2H	\lbrace f_2(t)		\rbrace$
+
+则系统$H$为线性系统
+
+<strong>例：判断方程所描述的系统的线性
+
+$y(k)+(k-1)y(k-1)=f(k)$
+
+解：
+$$
+f_1(k)	\to y_1(k) ,f_2(k)	\to y_2(k)\\
+f_1(k)+f_2(k)=y_1(k)+y_2(k)+(k-1) \lbrace y_1(k-1)+y_2(k-1)	\rbrace\\
+f_1(k)+f_2(k)	\to y_1(k) + y_2(k)\\
+f_1(k)+f_2(k)=y_1(k)+y_2(k)+(k-1) \lbrace y_1(k-1)+y_2(k-1)	\rbrace\\
+$$
+故：方程所描述的系统是线性系统。
+## 4、时不变系统
+### 4.1概念
+时不变系统：一个系统，在零初始条件下，其输出响应与输入信号施加于系统的时间起点无关，这样的系统称为时不变系统。
+
+时不变性：系统具有上述的性质称为时不变性。
+### 4.2判断方法
+<font color=red> 先时移，再经系统 = 先经系统，再时移</font>
+
+$$
+ f(t)\to 时移\tau
+ \to f(t-\tau)
+\to H
+\to H	\lbrace  f(t-\tau)		\rbrace \\
+$$
+$$
+\underrightarrow{f(t)}   H	\to	H	\lbrace f_1(t)		\rbrace
+\underrightarrow{令y(t)=H	\lbrace f_1(t)		\rbrace}
+\to 时移\tau
+\to y(t-\tau)\\
+$$
+若：$H	\lbrace  f(t-\tau)		\rbrace 	=	y(t-\tau)$，则系统$H$是时不变系统。
+
+## 5、线性时不变系统（Linear and Time-invariant System）
+线性时不变系统：系统既是线性的，又是时不变的；或系统的方程为线性常系数微分方程。
+
+# 三、常用的基本信号
+## 1、单位阶跃信号（unit step signal）
+$$
+        \epsilon(t) =
+        \begin{cases}
+        1,  & \text{t>0} \\
+        0, & \text{t<0}
+        \end{cases}
+$$
+时移$t_0$
+$$
+        \epsilon(t-t_0) =
+        \begin{cases}
+        1,  & t>t_0\\
+        0, & t<t_0
+        \end{cases}
+$$
+
+![在这里插入图片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/20200308190140732.png#pic_center)
+## 2、矩形脉冲信号（门函数）
+$$
+        g_\tau(t) =
+        \begin{cases}
+        1,  & (|t|<\frac{\tau}{2})\\
+        0, & (|t|>\frac{\tau}{2})
+        \end{cases}
+$$
+
+![在这里插入图片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/2020030819061149.png#pic_center)
+## 3、斜坡信号（ramp signal）
+$$
+        r(t) =
+        \begin{cases}
+        0,  & t<0 \\
+        t, &  t \geq 0
+        \end{cases}\\ 
+$$
+&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;$=t\epsilon(t)$       
+
+![在这里插入图片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/20200308191413817.png#pic_center)
+## 4、取样函数（sampling function）
+$$S_a(t)=\frac{\sin t}{t} (-\infty <t<+\infty)$$
+
+![在这里插入图片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/20200308192732671.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQzMzI4MzEz,size_16,color_FFFFFF,t_70#pic_center)
+><strong><font color=black>①偶函数 
+② 当$t=0$时，$S_a(t)=1$为最大值
+③ 曲线呈衰减振荡
+>④ $$\int_0^\infty {S_a(t)} \,{\rm d}t=\frac{\pi}{2} , \int_ {-\infty}^{\infty} {S_a(t)} \,{\rm d}t=\pi$$
+>
+ 取样函数常用形式 $\sin c(t)=\frac{\sin \pi t}{\pi t}=S_a(\pi t)$
+ ## 5、单位冲激函数（unit impulse function）
+ 视作矩形脉冲的极限
+
+
+p;&nbsp;&nbsp; ![在这里插入图片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/20200308193347337.png#pic_center)
+$$
+        \delta(t) =
+        \begin{cases}
+        \infty,  &  t=0 \\
+        0, & t \neq0
+        \end{cases}
+$$
+$$ \int_ {-\infty}^\infty {\delta(t)} \,{\rm d}t=1$$
+延时冲激：$A\delta(t-t_0)$
+
+冲激偶：$\delta \prime(t)=\frac{d\delta(t)}{dt}$
+
+<strong>性质：1、偶函数：$\delta(t)=\delta(-t)$
+&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2、取样性：
+<font color=red>
+$$
+f(t)\cdot \delta(t)=f(0)\cdot \delta(t)\\
+f(t)\cdot \delta(t-t_0)=f(t_0)\cdot \delta(t-t_0)\\
+$$
+$$ 
+\int_ {-\infty}^\infty {f(t)\cdot \delta(t)} \,{\rm d}t=f(0)\\
+\int_ {-\infty}^\infty {f(t)\cdot \delta(t-t_0)} \,{\rm d}t=f(t_0)\\
+$$
+</font>
+$\delta(t)$与$\epsilon(t)$的关系：
+$$ \int_ {-\infty}^t {\delta(\tau)} \,{\rm d}\tau=\epsilon(t)$$
+$$\frac{d\epsilon(t)}{dt}=\delta(t)$$
+
+<em>利用该性质可对不连续函数求导。
+
+<br>
+
+「你可能还想看」系列文章：
+[【信号与系统】笔记合集，你确定不收藏吗？我已经收藏了](https://axyzdong.blog.csdn.net/article/details/105909575)
+
+\
+<strong> <font color=red><strong>看完就赞，养成习惯，尊重别人的劳动是一种美德！！！^ _ ^ <3 <3 <3</font>
+ 码字不易，大家的支持就是我坚持下去的动力。点赞后不要忘了👉<font color=red>关注</font>👈我哦！
+ 更多精彩内容请前往 [AXYZdong的博客](https://blog.csdn.net/qq_43328313)
+
+<hr><p>如果以上内容有任何错误或者不准确的地方，欢迎在下面👇留个言。或者你有更好的想法，欢迎一起交流学习~~~</p>